Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53792 / 60961
↖ ↑ ↗
← S 82.333115°
E115.488282°		 ← 81.49 m → S 82.333115°
E115.493774°		 →
↑
81.49 m
↓
↑
81.49 m
↓
S 82.333848°
E115.488282°		 ← 81.48 m →
6 640 m²		 S 82.333848°
E115.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820808410644531 y=0.930198669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820808410644531 × 216)
    floor (0.820808410644531 × 65536)
    floor (53792.5)     		tx = 53792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930198669433594 × 216)
    floor (0.930198669433594 × 65536)
    floor (60961.5)     		ty = 60961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53792 / 60961 ti = "16/53792/60961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53792/60961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53792 ÷ 216
    53792 ÷ 65536     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60961 ÷ 216
    60961 ÷ 65536     		y = 0.930191040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930191040039062 × 2 - 1) × π
    -0.860382080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70297002197649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70297002197649))-π/2
    2×atan(0.0670062070076806)-π/2
    2×0.066906194095268-π/2
    0.133812388190536-1.57079632675     		φ = -1.43698394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43698394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.333115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53792 KachelY 60961 2.01565076 -1.43698394 115.488282 -82.333115
    Oben rechts KachelX + 1 53793 KachelY 60961 2.01574663 -1.43698394 115.493774 -82.333115
    Unten links KachelX 53792 KachelY + 1 60962 2.01565076 -1.43699673 115.488282 -82.333848
    Unten rechts KachelX + 1 53793 KachelY + 1 60962 2.01574663 -1.43699673 115.493774 -82.333848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43698394--1.43699673) × R
    1.27899999999848e-05 × 6371000     		dl = 81.4850899999029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43698394--1.43699673) × R
    1.27899999999848e-05 × 6371000     		dr = 81.4850899999029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01574663) × cos(-1.43698394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133413408863321 × 6371000     		do = 81.4872784877246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01574663) × cos(-1.43699673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133400733188952 × 6371000     		du = 81.4795363408434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43698394)-sin(-1.43699673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133413408863321-0.133400733188952)×R²
    abs(2.01574663-2.01565076)×1.26756743691614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26756743691614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26756743691614e-05×40589641000000     		ar = 6639.68278685082m²