Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53791 / 60959
↖ ↑ ↗
← S 82.331649°
E115.482788°		 ← 81.51 m → S 82.331649°
E115.488282°		 →
↑
81.55 m
↓
↑
81.55 m
↓
S 82.332382°
E115.482788°		 ← 81.50 m →
6 647 m²		 S 82.332382°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820793151855469 y=0.930168151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820793151855469 × 216)
    floor (0.820793151855469 × 65536)
    floor (53791.5)     		tx = 53791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930168151855469 × 216)
    floor (0.930168151855469 × 65536)
    floor (60959.5)     		ty = 60959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53791 / 60959 ti = "16/53791/60959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53791/60959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53791 ÷ 216
    53791 ÷ 65536     		x = 0.820785522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60959 ÷ 216
    60959 ÷ 65536     		y = 0.930160522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820785522460938 × 2 - 1) × π
    0.641571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01555488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930160522460938 × 2 - 1) × π
    -0.860321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70277827437801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01555488} λ = 2.01555488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70277827437801))-π/2
    2×atan(0.0670190565188497)-π/2
    2×0.0669189861611983-π/2
    0.133837972322397-1.57079632675     		φ = -1.43695835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01555488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.482788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43695835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.331649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53791 KachelY 60959 2.01555488 -1.43695835 115.482788 -82.331649
    Oben rechts KachelX + 1 53792 KachelY 60959 2.01565076 -1.43695835 115.488282 -82.331649
    Unten links KachelX 53791 KachelY + 1 60960 2.01555488 -1.43697115 115.482788 -82.332382
    Unten rechts KachelX + 1 53792 KachelY + 1 60960 2.01565076 -1.43697115 115.488282 -82.332382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43695835--1.43697115) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dl = 81.5487999995157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43695835--1.43697115) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dr = 81.5487999995157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01555488-2.01565076) × cos(-1.43695835) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.133438770057155 × 6371000     		do = 81.5112701791171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01555488-2.01565076) × cos(-1.43697115) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.133426084515866 × 6371000     		du = 81.5035211974461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43695835)-sin(-1.43697115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133438770057155-0.133426084515866)×R²
    abs(2.01565076-2.01555488)×1.26855412889981e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.26855412889981e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.26855412889981e-05×40589641000000     		ar = 6646.8303094826m²