Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53788 / 60964
↖ ↑ ↗
← S 82.335313°
E115.466309°		 ← 81.46 m → S 82.335313°
E115.471802°		 →
↑
81.42 m
↓
↑
81.42 m
↓
S 82.336046°
E115.466309°		 ← 81.46 m →
6 633 m²		 S 82.336046°
E115.471802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820747375488281 y=0.930244445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820747375488281 × 216)
    floor (0.820747375488281 × 65536)
    floor (53788.5)     		tx = 53788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930244445800781 × 216)
    floor (0.930244445800781 × 65536)
    floor (60964.5)     		ty = 60964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53788 / 60964 ti = "16/53788/60964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53788/60964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53788 ÷ 216
    53788 ÷ 65536     		x = 0.82073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60964 ÷ 216
    60964 ÷ 65536     		y = 0.93023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82073974609375 × 2 - 1) × π
    0.6414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01526726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.8604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70325764337421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01526726} λ = 2.01526726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70325764337421))-π/2
    2×atan(0.0669869373600795)-π/2
    2×0.0668870105537739-π/2
    0.133774021107548-1.57079632675     		φ = -1.43702231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01526726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.466309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43702231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.335313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53788 KachelY 60964 2.01526726 -1.43702231 115.466309 -82.335313
    Oben rechts KachelX + 1 53789 KachelY 60964 2.01536313 -1.43702231 115.471802 -82.335313
    Unten links KachelX 53788 KachelY + 1 60965 2.01526726 -1.43703509 115.466309 -82.336046
    Unten rechts KachelX + 1 53789 KachelY + 1 60965 2.01536313 -1.43703509 115.471802 -82.336046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43702231--1.43703509) × R
    1.27800000000455e-05 × 6371000     		dl = 81.4213800002901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43702231--1.43703509) × R
    1.27800000000455e-05 × 6371000     		dr = 81.4213800002901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01526726-2.01536313) × cos(-1.43702231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133375381774749 × 6371000     		do = 81.464052007096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01526726-2.01536313) × cos(-1.43703509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133362715945593 × 6371000     		du = 81.4563158735502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43702231)-sin(-1.43703509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133375381774749-0.133362715945593)×R²
    abs(2.01536313-2.01526726)×1.26658291567383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26658291567383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26658291567383e-05×40589641000000     		ar = 6632.60059145971m²