Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53784 / 60952
↖ ↑ ↗
← S 82.326516°
E115.444336°		 ← 81.57 m → S 82.326516°
E115.449829°		 →
↑
81.55 m
↓
↑
81.55 m
↓
S 82.327250°
E115.444336°		 ← 81.56 m →
6 651 m²		 S 82.327250°
E115.449829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820686340332031 y=0.930061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820686340332031 × 216)
    floor (0.820686340332031 × 65536)
    floor (53784.5)     		tx = 53784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930061340332031 × 216)
    floor (0.930061340332031 × 65536)
    floor (60952.5)     		ty = 60952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53784 / 60952 ti = "16/53784/60952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53784/60952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53784 ÷ 216
    53784 ÷ 65536     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60952 ÷ 216
    60952 ÷ 65536     		y = 0.9300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70210715778333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70210715778333))-π/2
    2×atan(0.0670640492158234)-π/2
    2×0.0669637775401848-π/2
    0.13392755508037-1.57079632675     		φ = -1.43686877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43686877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.326516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53784 KachelY 60952 2.01488376 -1.43686877 115.444336 -82.326516
    Oben rechts KachelX + 1 53785 KachelY 60952 2.01497964 -1.43686877 115.449829 -82.326516
    Unten links KachelX 53784 KachelY + 1 60953 2.01488376 -1.43688157 115.444336 -82.327250
    Unten rechts KachelX + 1 53785 KachelY + 1 60953 2.01497964 -1.43688157 115.449829 -82.327250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43686877--1.43688157) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dl = 81.5487999995157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43686877--1.43688157) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dr = 81.5487999995157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01497964) × cos(-1.43686877) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133527548413007 × 6371000     		do = 81.5655005688038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01497964) × cos(-1.43688157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133514863024766 × 6371000     		du = 81.5577516806222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43686877)-sin(-1.43688157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133527548413007-0.133514863024766)×R²
    abs(2.01497964-2.01488376)×1.2685388241257e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2685388241257e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2685388241257e-05×40589641000000     		ar = 6651.25273676357m²