Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53771 / 60939
↖ ↑ ↗
← S 82.316975°
E115.372925°		 ← 81.66 m → S 82.316975°
E115.378418°		 →
↑
81.61 m
↓
↑
81.61 m
↓
S 82.317709°
E115.372925°		 ← 81.65 m →
6 664 m²		 S 82.317709°
E115.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820487976074219 y=0.929862976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820487976074219 × 216)
    floor (0.820487976074219 × 65536)
    floor (53771.5)     		tx = 53771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929862976074219 × 216)
    floor (0.929862976074219 × 65536)
    floor (60939.5)     		ty = 60939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53771 / 60939 ti = "16/53771/60939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53771/60939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53771 ÷ 216
    53771 ÷ 65536     		x = 0.820480346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60939 ÷ 216
    60939 ÷ 65536     		y = 0.929855346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820480346679688 × 2 - 1) × π
    0.640960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01363741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.859710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.7008607983932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01363741} λ = 2.01363741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7008607983932))-π/2
    2×atan(0.0671476872339908)-π/2
    2×0.0670470406082603-π/2
    0.134094081216521-1.57079632675     		φ = -1.43670225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01363741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.372925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43670225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.316975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53771 KachelY 60939 2.01363741 -1.43670225 115.372925 -82.316975
    Oben rechts KachelX + 1 53772 KachelY 60939 2.01373328 -1.43670225 115.378418 -82.316975
    Unten links KachelX 53771 KachelY + 1 60940 2.01363741 -1.43671506 115.372925 -82.317709
    Unten rechts KachelX + 1 53772 KachelY + 1 60940 2.01373328 -1.43671506 115.378418 -82.317709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43670225--1.43671506) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dl = 81.6125100005432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43670225--1.43671506) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dr = 81.6125100005432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01363741-2.01373328) × cos(-1.43670225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133692575391311 × 6371000     		do = 81.6577899888139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01363741-2.01373328) × cos(-1.43671506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133679880377594 × 6371000     		du = 81.6500360296958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43670225)-sin(-1.43671506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133692575391311-0.133679880377594)×R²
    abs(2.01373328-2.01363741)×1.26950137166182e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26950137166182e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26950137166182e-05×40589641000000     		ar = 6663.98079213767m²