Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53769 / 60935
↖ ↑ ↗
← S 82.314037°
E115.361939°		 ← 81.69 m → S 82.314037°
E115.367432°		 →
↑
81.68 m
↓
↑
81.68 m
↓
S 82.314772°
E115.361939°		 ← 81.68 m →
6 672 m²		 S 82.314772°
E115.367432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820457458496094 y=0.929801940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820457458496094 × 216)
    floor (0.820457458496094 × 65536)
    floor (53769.5)     		tx = 53769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929801940917969 × 216)
    floor (0.929801940917969 × 65536)
    floor (60935.5)     		ty = 60935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53769 / 60935 ti = "16/53769/60935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53769/60935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53769 ÷ 216
    53769 ÷ 65536     		x = 0.820449829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60935 ÷ 216
    60935 ÷ 65536     		y = 0.929794311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820449829101562 × 2 - 1) × π
    0.640899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01344566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929794311523438 × 2 - 1) × π
    -0.859588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70047730319624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01344566} λ = 2.01344566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70047730319624))-π/2
    2×atan(0.0671734429878203)-π/2
    2×0.0670726807113393-π/2
    0.134145361422679-1.57079632675     		φ = -1.43665097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01344566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.361939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43665097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53769 KachelY 60935 2.01344566 -1.43665097 115.361939 -82.314037
    Oben rechts KachelX + 1 53770 KachelY 60935 2.01354153 -1.43665097 115.367432 -82.314037
    Unten links KachelX 53769 KachelY + 1 60936 2.01344566 -1.43666379 115.361939 -82.314772
    Unten rechts KachelX + 1 53770 KachelY + 1 60936 2.01354153 -1.43666379 115.367432 -82.314772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43665097--1.43666379) × R
    1.28200000000245e-05 × 6371000     		dl = 81.676220000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43665097--1.43666379) × R
    1.28200000000245e-05 × 6371000     		dr = 81.676220000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01344566-2.01354153) × cos(-1.43665097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133743394867412 × 6371000     		do = 81.6888299032941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01344566-2.01354153) × cos(-1.43666379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133730690031353 × 6371000     		du = 81.6810699448095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43665097)-sin(-1.43666379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133743394867412-0.133730690031353)×R²
    abs(2.01354153-2.01344566)×1.27048360589188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27048360589188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27048360589188e-05×40589641000000     		ar = 6671.71794067599m²