Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53768 / 60936
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E115.356445°		 ← 81.69 m → S 82.314772°
E115.361939°		 →
↑
81.68 m
↓
↑
81.68 m
↓
S 82.315506°
E115.356445°		 ← 81.68 m →
6 672 m²		 S 82.315506°
E115.361939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820442199707031 y=0.929817199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820442199707031 × 216)
    floor (0.820442199707031 × 65536)
    floor (53768.5)     		tx = 53768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929817199707031 × 216)
    floor (0.929817199707031 × 65536)
    floor (60936.5)     		ty = 60936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53768 / 60936 ti = "16/53768/60936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53768/60936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53768 ÷ 216
    53768 ÷ 65536     		x = 0.8204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60936 ÷ 216
    60936 ÷ 65536     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8204345703125 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01334978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01334978} λ = 2.01334978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01334978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53768 KachelY 60936 2.01334978 -1.43666379 115.356445 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 53769 KachelY 60936 2.01344566 -1.43666379 115.361939 -82.314772
    Unten links KachelX 53768 KachelY + 1 60937 2.01334978 -1.43667661 115.356445 -82.315506
    Unten rechts KachelX + 1 53769 KachelY + 1 60937 2.01344566 -1.43667661 115.361939 -82.315506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43667661) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dl = 81.6762199987413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43667661) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dr = 81.6762199987413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01334978-2.01344566) × cos(-1.43666379) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 81.6895899270196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01334978-2.01344566) × cos(-1.43667661) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133717985173315 × 6371000     		du = 81.6818291456841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43667661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133717985173315)×R²
    abs(2.01344566-2.01334978)×1.2704858037671e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2704858037671e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2704858037671e-05×40589641000000     		ar = 6671.77998286787m²