Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53767 / 60951
↖ ↑ ↗
← S 82.325783°
E115.350952°		 ← 81.56 m → S 82.325783°
E115.356445°		 →
↑
81.55 m
↓
↑
81.55 m
↓
S 82.326516°
E115.350952°		 ← 81.56 m →
6 651 m²		 S 82.326516°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820426940917969 y=0.930046081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820426940917969 × 216)
    floor (0.820426940917969 × 65536)
    floor (53767.5)     		tx = 53767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930046081542969 × 216)
    floor (0.930046081542969 × 65536)
    floor (60951.5)     		ty = 60951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53767 / 60951 ti = "16/53767/60951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53767/60951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53767 ÷ 216
    53767 ÷ 65536     		x = 0.820419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60951 ÷ 216
    60951 ÷ 65536     		y = 0.930038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820419311523438 × 2 - 1) × π
    0.640838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01325391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.930038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.860076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70201128398409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01325391} λ = 2.01325391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70201128398409))-π/2
    2×atan(0.0670704792092432)-π/2
    2×0.0669701787408891-π/2
    0.133940357481778-1.57079632675     		φ = -1.43685597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01325391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.350952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43685597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.325783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53767 KachelY 60951 2.01325391 -1.43685597 115.350952 -82.325783
    Oben rechts KachelX + 1 53768 KachelY 60951 2.01334978 -1.43685597 115.356445 -82.325783
    Unten links KachelX 53767 KachelY + 1 60952 2.01325391 -1.43686877 115.350952 -82.326516
    Unten rechts KachelX + 1 53768 KachelY + 1 60952 2.01334978 -1.43686877 115.356445 -82.326516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43685597--1.43686877) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dl = 81.5487999995157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43685597--1.43686877) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dr = 81.5487999995157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01325391-2.01334978) × cos(-1.43685597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133540233779372 × 6371000     		do = 81.5647415953793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01325391-2.01334978) × cos(-1.43686877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133527548413007 × 6371000     		du = 81.5569935287461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43685597)-sin(-1.43686877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133540233779372-0.133527548413007)×R²
    abs(2.01334978-2.01325391)×1.26853663641457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26853663641457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26853663641457e-05×40589641000000     		ar = 6651.19087670451m²