Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53764 / 60948
↖ ↑ ↗
← S 82.323582°
E115.334473°		 ← 81.59 m → S 82.323582°
E115.339966°		 →
↑
81.61 m
↓
↑
81.61 m
↓
S 82.324316°
E115.334473°		 ← 81.58 m →
6 658 m²		 S 82.324316°
E115.339966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820381164550781 y=0.930000305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820381164550781 × 216)
    floor (0.820381164550781 × 65536)
    floor (53764.5)     		tx = 53764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930000305175781 × 216)
    floor (0.930000305175781 × 65536)
    floor (60948.5)     		ty = 60948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53764 / 60948 ti = "16/53764/60948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53764/60948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53764 ÷ 216
    53764 ÷ 65536     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60948 ÷ 216
    60948 ÷ 65536     		y = 0.92999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.8599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70172366258636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70172366258636))-π/2
    2×atan(0.0670897728887237)-π/2
    2×0.0669893859926662-π/2
    0.133978771985332-1.57079632675     		φ = -1.43681755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43681755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.323582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53764 KachelY 60948 2.01296629 -1.43681755 115.334473 -82.323582
    Oben rechts KachelX + 1 53765 KachelY 60948 2.01306216 -1.43681755 115.339966 -82.323582
    Unten links KachelX 53764 KachelY + 1 60949 2.01296629 -1.43683036 115.334473 -82.324316
    Unten rechts KachelX + 1 53765 KachelY + 1 60949 2.01306216 -1.43683036 115.339966 -82.324316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43681755--1.43683036) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dl = 81.6125100005432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43681755--1.43683036) × R
    1.28100000000853e-05 × 6371000     		dr = 81.6125100005432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01306216) × cos(-1.43681755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133578309567946 × 6371000     		do = 81.5879978213735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01306216) × cos(-1.43683036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13356561435686 × 6371000     		du = 81.5802437417047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43681755)-sin(-1.43683036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133578309567946-0.13356561435686)×R²
    abs(2.01306216-2.01296629)×1.2695211085878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2695211085878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2695211085878e-05×40589641000000     		ar = 6658.28487327118m²