Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53761 / 60930
↖ ↑ ↗
← S 82.310363°
E115.317993°		 ← 81.73 m → S 82.310363°
E115.323486°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
S 82.311098°
E115.317993°		 ← 81.72 m →
6 680 m²		 S 82.311098°
E115.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820335388183594 y=0.929725646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820335388183594 × 216)
    floor (0.820335388183594 × 65536)
    floor (53761.5)     		tx = 53761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929725646972656 × 216)
    floor (0.929725646972656 × 65536)
    floor (60930.5)     		ty = 60930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53761 / 60930 ti = "16/53761/60930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53761/60930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53761 ÷ 216
    53761 ÷ 65536     		x = 0.820327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60930 ÷ 216
    60930 ÷ 65536     		y = 0.929718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820327758789062 × 2 - 1) × π
    0.640655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01267867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.85943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.69999793420004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01267867} λ = 2.01267867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69999793420004))-π/2
    2×atan(0.0672056515730385)-π/2
    2×0.0671047445464469-π/2
    0.134209489092894-1.57079632675     		φ = -1.43658684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01267867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43658684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.310363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53761 KachelY 60930 2.01267867 -1.43658684 115.317993 -82.310363
    Oben rechts KachelX + 1 53762 KachelY 60930 2.01277454 -1.43658684 115.323486 -82.310363
    Unten links KachelX 53761 KachelY + 1 60931 2.01267867 -1.43659967 115.317993 -82.311098
    Unten rechts KachelX + 1 53762 KachelY + 1 60931 2.01277454 -1.43659967 115.323486 -82.311098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43658684--1.43659967) × R
    1.28300000001857e-05 × 6371000     		dl = 81.7399300011834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43658684--1.43659967) × R
    1.28300000001857e-05 × 6371000     		dr = 81.7399300011834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01267867-2.01277454) × cos(-1.43658684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133806948448172 × 6371000     		do = 81.7276476531619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01267867-2.01277454) × cos(-1.43659967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133794233811999 × 6371000     		du = 81.7198817088876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43658684)-sin(-1.43659967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133806948448172-0.133794233811999)×R²
    abs(2.01277454-2.01267867)×1.27146361728336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27146361728336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27146361728336e-05×40589641000000     		ar = 6680.0948044327m²