Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53760 / 60926
↖ ↑ ↗
← S 82.307422°
E115.312500°		 ← 81.77 m → S 82.307422°
E115.317993°		 →
↑
81.80 m
↓
↑
81.80 m
↓
S 82.308158°
E115.312500°		 ← 81.76 m →
6 689 m²		 S 82.308158°
E115.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820320129394531 y=0.929664611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820320129394531 × 216)
    floor (0.820320129394531 × 65536)
    floor (53760.5)     		tx = 53760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929664611816406 × 216)
    floor (0.929664611816406 × 65536)
    floor (60926.5)     		ty = 60926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53760 / 60926 ti = "16/53760/60926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53760/60926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53760 ÷ 216
    53760 ÷ 65536     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60926 ÷ 216
    60926 ÷ 65536     		y = 0.929656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.85931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69961443900308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69961443900308))-π/2
    2×atan(0.0672314295601766)-π/2
    2×0.0671304065839732-π/2
    0.134260813167946-1.57079632675     		φ = -1.43653551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43653551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.307422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53760 KachelY 60926 2.01258279 -1.43653551 115.312500 -82.307422
    Oben rechts KachelX + 1 53761 KachelY 60926 2.01267867 -1.43653551 115.317993 -82.307422
    Unten links KachelX 53760 KachelY + 1 60927 2.01258279 -1.43654835 115.312500 -82.308158
    Unten rechts KachelX + 1 53761 KachelY + 1 60927 2.01267867 -1.43654835 115.317993 -82.308158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43653551--1.43654835) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dl = 81.8036400007962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43653551--1.43654835) × R
    1.2840000000125e-05 × 6371000     		dr = 81.8036400007962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01267867) × cos(-1.43653551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133857816682589 × 6371000     		do = 81.7672454300744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01267867) × cos(-1.43654835) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.133845092224526 × 6371000     		du = 81.7594726760347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43653551)-sin(-1.43654835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133857816682589-0.133845092224526)×R²
    abs(2.01267867-2.01258279)×1.27244580624408e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.27244580624408e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.27244580624408e-05×40589641000000     		ar = 6688.54038956733m²