Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53759 / 60931
↖ ↑ ↗
← S 82.311098°
E115.307007°		 ← 81.72 m → S 82.311098°
E115.312500°		 →
↑
81.68 m
↓
↑
81.68 m
↓
S 82.311832°
E115.307007°		 ← 81.71 m →
6 674 m²		 S 82.311832°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820304870605469 y=0.929740905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820304870605469 × 216)
    floor (0.820304870605469 × 65536)
    floor (53759.5)     		tx = 53759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929740905761719 × 216)
    floor (0.929740905761719 × 65536)
    floor (60931.5)     		ty = 60931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53759 / 60931 ti = "16/53759/60931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53759/60931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53759 ÷ 216
    53759 ÷ 65536     		x = 0.820297241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60931 ÷ 216
    60931 ÷ 65536     		y = 0.929733276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820297241210938 × 2 - 1) × π
    0.640594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01248692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929733276367188 × 2 - 1) × π
    -0.859466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70009380799928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01248692} λ = 2.01248692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70009380799928))-π/2
    2×atan(0.0671992086207519)-π/2
    2×0.0670983305607882-π/2
    0.134196661121576-1.57079632675     		φ = -1.43659967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01248692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.307007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43659967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.311098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53759 KachelY 60931 2.01248692 -1.43659967 115.307007 -82.311098
    Oben rechts KachelX + 1 53760 KachelY 60931 2.01258279 -1.43659967 115.312500 -82.311098
    Unten links KachelX 53759 KachelY + 1 60932 2.01248692 -1.43661249 115.307007 -82.311832
    Unten rechts KachelX + 1 53760 KachelY + 1 60932 2.01258279 -1.43661249 115.312500 -82.311832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43659967--1.43661249) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dl = 81.6762199987413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43659967--1.43661249) × R
    1.28199999998024e-05 × 6371000     		dr = 81.6762199987413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01248692-2.01258279) × cos(-1.43659967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133794233811999 × 6371000     		do = 81.7198817088876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01248692-2.01258279) × cos(-1.43661249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133781529063911 × 6371000     		du = 81.7121218041347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43659967)-sin(-1.43661249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133794233811999-0.133781529063911)×R²
    abs(2.01258279-2.01248692)×1.27047480876774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27047480876774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27047480876774e-05×40589641000000     		ar = 6674.25413669116m²