Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53758 / 60934
↖ ↑ ↗
← S 82.313302°
E115.301514°		 ← 81.70 m → S 82.313302°
E115.307007°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
S 82.314037°
E115.301514°		 ← 81.69 m →
6 678 m²		 S 82.314037°
E115.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820289611816406 y=0.929786682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820289611816406 × 216)
    floor (0.820289611816406 × 65536)
    floor (53758.5)     		tx = 53758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929786682128906 × 216)
    floor (0.929786682128906 × 65536)
    floor (60934.5)     		ty = 60934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53758 / 60934 ti = "16/53758/60934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53758/60934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53758 ÷ 216
    53758 ÷ 65536     		x = 0.820281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60934 ÷ 216
    60934 ÷ 65536     		y = 0.929779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820281982421875 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01239105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.85955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.700381429397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01239105} λ = 2.01239105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.700381429397))-π/2
    2×atan(0.0671798834697394)-π/2
    2×0.0670790922598373-π/2
    0.134158184519675-1.57079632675     		φ = -1.43663814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01239105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43663814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.313302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53758 KachelY 60934 2.01239105 -1.43663814 115.301514 -82.313302
    Oben rechts KachelX + 1 53759 KachelY 60934 2.01248692 -1.43663814 115.307007 -82.313302
    Unten links KachelX 53758 KachelY + 1 60935 2.01239105 -1.43665097 115.301514 -82.314037
    Unten rechts KachelX + 1 53759 KachelY + 1 60935 2.01248692 -1.43665097 115.307007 -82.314037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43663814--1.43665097) × R
    1.28300000001857e-05 × 6371000     		dl = 81.7399300011834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43663814--1.43665097) × R
    1.28300000001857e-05 × 6371000     		dr = 81.7399300011834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01239105-2.01248692) × cos(-1.43663814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133756109591633 × 6371000     		do = 81.6965959013472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01239105-2.01248692) × cos(-1.43665097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133743394867412 × 6371000     		du = 81.6888299032941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43663814)-sin(-1.43665097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133756109591633-0.133743394867412)×R²
    abs(2.01248692-2.01239105)×1.2714724220847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2714724220847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2714724220847e-05×40589641000000     		ar = 6677.55663449854m²