Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53756 / 60940
↖ ↑ ↗
← S 82.317709°
E115.290527°		 ← 81.65 m → S 82.317709°
E115.296020°		 →
↑
81.68 m
↓
↑
81.68 m
↓
S 82.318444°
E115.290527°		 ← 81.64 m →
6 669 m²		 S 82.318444°
E115.296020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820259094238281 y=0.929878234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820259094238281 × 216)
    floor (0.820259094238281 × 65536)
    floor (53756.5)     		tx = 53756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929878234863281 × 216)
    floor (0.929878234863281 × 65536)
    floor (60940.5)     		ty = 60940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53756 / 60940 ti = "16/53756/60940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53756/60940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53756 ÷ 216
    53756 ÷ 65536     		x = 0.82025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60940 ÷ 216
    60940 ÷ 65536     		y = 0.92987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82025146484375 × 2 - 1) × π
    0.6405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01219930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.8597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70095667219244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01219930} λ = 2.01219930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70095667219244))-π/2
    2×atan(0.0671412498386992)-π/2
    2×0.0670406321049348-π/2
    0.13408126420987-1.57079632675     		φ = -1.43671506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01219930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43671506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.317709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53756 KachelY 60940 2.01219930 -1.43671506 115.290527 -82.317709
    Oben rechts KachelX + 1 53757 KachelY 60940 2.01229517 -1.43671506 115.296020 -82.317709
    Unten links KachelX 53756 KachelY + 1 60941 2.01219930 -1.43672788 115.290527 -82.318444
    Unten rechts KachelX + 1 53757 KachelY + 1 60941 2.01229517 -1.43672788 115.296020 -82.318444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43671506--1.43672788) × R
    1.28200000000245e-05 × 6371000     		dl = 81.676220000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43671506--1.43672788) × R
    1.28200000000245e-05 × 6371000     		dr = 81.676220000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01219930-2.01229517) × cos(-1.43671506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133679880377594 × 6371000     		do = 81.6500360296958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01219930-2.01229517) × cos(-1.43672788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133667175431679 × 6371000     		du = 81.642276004112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43671506)-sin(-1.43672788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133679880377594-0.133667175431679)×R²
    abs(2.01229517-2.01219930)×1.27049459157091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27049459157091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27049459157091e-05×40589641000000     		ar = 6668.54940107292m²