Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5372 / 2813
↖ ↑ ↗
← N 49.009051°
E 56.074219°		 ← 3 205.25 m → N 49.009051°
E 56.118164°		 →
↑
3 206.21 m
↓
↑
3 206.21 m
↓
N 48.980217°
E 56.074219°		 ← 3 207.10 m →
10 279 652 m²		 N 48.980217°
E 56.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65582275390625 y=0.34344482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65582275390625 × 213)
    floor (0.65582275390625 × 8192)
    floor (5372.5)     		tx = 5372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34344482421875 × 213)
    floor (0.34344482421875 × 8192)
    floor (2813.5)     		ty = 2813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5372 / 2813 ti = "13/5372/2813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5372/2813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5372 ÷ 213
    5372 ÷ 8192     		x = 0.65576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2813 ÷ 213
    2813 ÷ 8192     		y = 0.3433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65576171875 × 2 - 1) × π
    0.3115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97867974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    0.313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984048675400513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97867974} λ = 0.97867974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984048675400513))-π/2
    2×atan(2.67526562745308)-π/2
    2×1.21308281333868-π/2
    2.42616562667736-1.57079632675     		φ = 0.85536930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97867974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85536930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.009051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5372 KachelY 2813 0.97867974 0.85536930 56.074219 49.009051
    Oben rechts KachelX + 1 5373 KachelY 2813 0.97944673 0.85536930 56.118164 49.009051
    Unten links KachelX 5372 KachelY + 1 2814 0.97867974 0.85486605 56.074219 48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 5373 KachelY + 1 2814 0.97944673 0.85486605 56.118164 48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85536930-0.85486605) × R
    0.000503249999999955 × 6371000     		dl = 3206.20574999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85536930-0.85486605) × R
    0.000503249999999955 × 6371000     		dr = 3206.20574999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97867974-0.97944673) × cos(0.85536930) × R
    0.000766990000000023 × 0.655939801957449 × 6371000     		do = 3205.2454409091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97867974-0.97944673) × cos(0.85486605) × R
    0.000766990000000023 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 3207.10121704962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85536930)-sin(0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655939801957449-0.65631957862558)×R²
    abs(0.97944673-0.97867974)×0.000379776668131049×R²
    0.000766990000000023×0.000379776668131049×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379776668131049×40589641000000     		ar = 10279651.5798235m²