Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5366 / 2810
↖ ↑ ↗
← N 49.095452°
E 55.810547°		 ← 3 199.68 m → N 49.095452°
E 55.854492°		 →
↑
3 200.60 m
↓
↑
3 200.60 m
↓
N 49.066669°
E 55.810547°		 ← 3 201.53 m →
10 243 861 m²		 N 49.066669°
E 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65509033203125 y=0.34307861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65509033203125 × 213)
    floor (0.65509033203125 × 8192)
    floor (5366.5)     		tx = 5366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34307861328125 × 213)
    floor (0.34307861328125 × 8192)
    floor (2810.5)     		ty = 2810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5366 / 2810 ti = "13/5366/2810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5366/2810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5366 ÷ 213
    5366 ÷ 8192     		x = 0.655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2810 ÷ 213
    2810 ÷ 8192     		y = 0.343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.655029296875 × 2 - 1) × π
    0.31005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.97407780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986349646582275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97407780} λ = 0.97407780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986349646582275))-π/2
    2×atan(2.68142842405504)-π/2
    2×1.21383680738402-π/2
    2.42767361476804-1.57079632675     		φ = 0.85687729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97407780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85687729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.095452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5366 KachelY 2810 0.97407780 0.85687729 55.810547 49.095452
    Oben rechts KachelX + 1 5367 KachelY 2810 0.97484479 0.85687729 55.854492 49.095452
    Unten links KachelX 5366 KachelY + 1 2811 0.97407780 0.85637492 55.810547 49.066669
    Unten rechts KachelX + 1 5367 KachelY + 1 2811 0.97484479 0.85637492 55.854492 49.066669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85687729-0.85637492) × R
    0.000502369999999974 × 6371000     		dl = 3200.59926999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85687729-0.85637492) × R
    0.000502369999999974 × 6371000     		dr = 3200.59926999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97407780-0.97484479) × cos(0.85687729) × R
    0.000766990000000023 × 0.654800805807568 × 6371000     		do = 3199.67974386537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97407780-0.97484479) × cos(0.85637492) × R
    0.000766990000000023 × 0.655180415162382 × 6371000     		du = 3201.53470243049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85687729)-sin(0.85637492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654800805807568-0.655180415162382)×R²
    abs(0.97484479-0.97407780)×0.000379609354813737×R²
    0.000766990000000023×0.000379609354813737×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379609354813737×40589641000000     		ar = 10243861.3574079m²