Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5365 / 2811
↖ ↑ ↗
← N 49.066669°
E 55.766602°		 ← 3 201.53 m → N 49.066669°
E 55.810547°		 →
↑
3 202.51 m
↓
↑
3 202.51 m
↓
N 49.037868°
E 55.766602°		 ← 3 203.39 m →
10 255 920 m²		 N 49.037868°
E 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65496826171875 y=0.34320068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65496826171875 × 213)
    floor (0.65496826171875 × 8192)
    floor (5365.5)     		tx = 5365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34320068359375 × 213)
    floor (0.34320068359375 × 8192)
    floor (2811.5)     		ty = 2811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5365 / 2811 ti = "13/5365/2811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5365/2811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5365 ÷ 213
    5365 ÷ 8192     		x = 0.6549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2811 ÷ 213
    2811 ÷ 8192     		y = 0.3431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6549072265625 × 2 - 1) × π
    0.309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97331081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97331081} λ = 0.97331081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985582656188355))-π/2
    2×atan(2.67937258271786)-π/2
    2×1.21358562163179-π/2
    2.42717124326358-1.57079632675     		φ = 0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97331081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5365 KachelY 2811 0.97331081 0.85637492 55.766602 49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 5366 KachelY 2811 0.97407780 0.85637492 55.810547 49.066669
    Unten links KachelX 5365 KachelY + 1 2812 0.97331081 0.85587225 55.766602 49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 5366 KachelY + 1 2812 0.97407780 0.85587225 55.810547 49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85637492-0.85587225) × R
    0.000502670000000038 × 6371000     		dl = 3202.51057000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85637492-0.85587225) × R
    0.000502670000000038 × 6371000     		dr = 3202.51057000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97331081-0.97407780) × cos(0.85637492) × R
    0.000766990000000023 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 3201.53470243049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97331081-0.97407780) × cos(0.85587225) × R
    0.000766990000000023 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 3203.38996000686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85637492)-sin(0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.655560085708572)×R²
    abs(0.97407780-0.97331081)×0.000379670546189925×R²
    0.000766990000000023×0.000379670546189925×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379670546189925×40589641000000     		ar = 10255919.6817078m²