Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5361 / 2804
↖ ↑ ↗
← N 49.267804°
E 55.590820°		 ← 3 188.56 m → N 49.267804°
E 55.634766°		 →
↑
3 189.45 m
↓
↑
3 189.45 m
↓
N 49.239121°
E 55.590820°		 ← 3 190.41 m →
10 172 695 m²		 N 49.239121°
E 55.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65447998046875 y=0.34234619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65447998046875 × 213)
    floor (0.65447998046875 × 8192)
    floor (5361.5)     		tx = 5361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34234619140625 × 213)
    floor (0.34234619140625 × 8192)
    floor (2804.5)     		ty = 2804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5361 / 2804 ti = "13/5361/2804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5361/2804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5361 ÷ 213
    5361 ÷ 8192     		x = 0.6544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2804 ÷ 213
    2804 ÷ 8192     		y = 0.34228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97024285} λ = 0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990951588945801))-π/2
    2×atan(2.69379664019567)-π/2
    2×1.21534086570704-π/2
    2.43068173141409-1.57079632675     		φ = 0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5361 KachelY 2804 0.97024285 0.85988540 55.590820 49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 5362 KachelY 2804 0.97100984 0.85988540 55.634766 49.267804
    Unten links KachelX 5361 KachelY + 1 2805 0.97024285 0.85938478 55.590820 49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 5362 KachelY + 1 2805 0.97100984 0.85938478 55.634766 49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85988540-0.85938478) × R
    0.000500620000000063 × 6371000     		dl = 3189.4500200004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85988540-0.85938478) × R
    0.000500620000000063 × 6371000     		dr = 3189.4500200004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97024285-0.97100984) × cos(0.85988540) × R
    0.000766990000000023 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 3188.55567526406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97024285-0.97100984) × cos(0.85938478) × R
    0.000766990000000023 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 3190.40898498814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85988540)-sin(0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.652903584563817)×R²
    abs(0.97100984-0.97024285)×0.000379271926530533×R²
    0.000766990000000023×0.000379271926530533×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379271926530533×40589641000000     		ar = 10172694.6940687m²