Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5360 / 2959
↖ ↑ ↗
← N 44.621754°
E 55.546875°		 ← 3 478.01 m → N 44.621754°
E 55.590820°		 →
↑
3 478.95 m
↓
↑
3 478.95 m
↓
N 44.590467°
E 55.546875°		 ← 3 479.88 m →
12 103 068 m²		 N 44.590467°
E 55.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65435791015625 y=0.36126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65435791015625 × 213)
    floor (0.65435791015625 × 8192)
    floor (5360.5)     		tx = 5360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36126708984375 × 213)
    floor (0.36126708984375 × 8192)
    floor (2959.5)     		ty = 2959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5360 / 2959 ti = "13/5360/2959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5360/2959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5360 ÷ 213
    5360 ÷ 8192     		x = 0.654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2959 ÷ 213
    2959 ÷ 8192     		y = 0.3612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.654296875 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3612060546875 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.872068077888062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96947586} λ = 0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.872068077888062))-π/2
    2×atan(2.39185227894637)-π/2
    2×1.17479642688585-π/2
    2.34959285377169-1.57079632675     		φ = 0.77879653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77879653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.621754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5360 KachelY 2959 0.96947586 0.77879653 55.546875 44.621754
    Oben rechts KachelX + 1 5361 KachelY 2959 0.97024285 0.77879653 55.590820 44.621754
    Unten links KachelX 5360 KachelY + 1 2960 0.96947586 0.77825047 55.546875 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 5361 KachelY + 1 2960 0.97024285 0.77825047 55.590820 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77879653-0.77825047) × R
    0.000546060000000015 × 6371000     		dl = 3478.94826000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77879653-0.77825047) × R
    0.000546060000000015 × 6371000     		dr = 3478.94826000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96947586-0.97024285) × cos(0.77879653) × R
    0.000766990000000023 × 0.711759398668387 × 6371000     		do = 3478.00752568761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96947586-0.97024285) × cos(0.77825047) × R
    0.000766990000000023 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 3479.88129628553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77879653)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711759398668387-0.712142857825438)×R²
    abs(0.97024285-0.96947586)×0.00038345915705118×R²
    0.000766990000000023×0.00038345915705118×6371000²
    0.000766990000000023×0.00038345915705118×40589641000000     		ar = 12103067.9059808m²