Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5359 / 2928
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E 55.502930°		 ← 3 419.92 m → N 45.583290°
E 55.546875°		 →
↑
3 420.84 m
↓
↑
3 420.84 m
↓
N 45.552525°
E 55.502930°		 ← 3 421.79 m →
11 702 214 m²		 N 45.552525°
E 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65423583984375 y=0.35748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65423583984375 × 213)
    floor (0.65423583984375 × 8192)
    floor (5359.5)     		tx = 5359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35748291015625 × 213)
    floor (0.35748291015625 × 8192)
    floor (2928.5)     		ty = 2928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5359 / 2928 ti = "13/5359/2928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5359/2928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5359 ÷ 213
    5359 ÷ 8192     		x = 0.6541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2928 ÷ 213
    2928 ÷ 8192     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96870887} λ = 0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5359 KachelY 2928 0.96870887 0.79557849 55.502930 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 5360 KachelY 2928 0.96947586 0.79557849 55.546875 45.583290
    Unten links KachelX 5359 KachelY + 1 2929 0.96870887 0.79504155 55.502930 45.552525
    Unten rechts KachelX + 1 5360 KachelY + 1 2929 0.96947586 0.79504155 55.546875 45.552525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.79504155) × R
    0.000536940000000041 × 6371000     		dl = 3420.84474000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.79504155) × R
    0.000536940000000041 × 6371000     		dr = 3420.84474000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96870887-0.96947586) × cos(0.79557849) × R
    0.000766989999999912 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 3419.91829716668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96870887-0.96947586) × cos(0.79504155) × R
    0.000766989999999912 × 0.700255104403776 × 6371000     		du = 3421.79186895691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.79504155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.700255104403776)×R²
    abs(0.96947586-0.96870887)×0.000383418471905927×R²
    0.000766989999999912×0.000383418471905927×6371000²
    0.000766989999999912×0.000383418471905927×40589641000000     		ar = 11702214.3983443m²