Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5335 / 2921
↖ ↑ ↗
← N 45.798170°
E 54.448242°		 ← 3 406.80 m → N 45.798170°
E 54.492188°		 →
↑
3 407.72 m
↓
↑
3 407.72 m
↓
N 45.767523°
E 54.448242°		 ← 3 408.68 m →
11 612 630 m²		 N 45.767523°
E 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65130615234375 y=0.35662841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65130615234375 × 213)
    floor (0.65130615234375 × 8192)
    floor (5335.5)     		tx = 5335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35662841796875 × 213)
    floor (0.35662841796875 × 8192)
    floor (2921.5)     		ty = 2921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5335 / 2921 ti = "13/5335/2921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5335/2921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5335 ÷ 213
    5335 ÷ 8192     		x = 0.6512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2921 ÷ 213
    2921 ÷ 8192     		y = 0.3565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    0.302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95030110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3565673828125 × 2 - 1) × π
    0.286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95030110} λ = 0.95030110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901213712857056))-π/2
    2×atan(2.46259017542868)-π/2
    2×1.1850625882325-π/2
    2.370125176465-1.57079632675     		φ = 0.79932885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95030110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79932885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.798170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5335 KachelY 2921 0.95030110 0.79932885 54.448242 45.798170
    Oben rechts KachelX + 1 5336 KachelY 2921 0.95106809 0.79932885 54.492188 45.798170
    Unten links KachelX 5335 KachelY + 1 2922 0.95030110 0.79879397 54.448242 45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 5336 KachelY + 1 2922 0.95106809 0.79879397 54.492188 45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79932885-0.79879397) × R
    0.000534880000000015 × 6371000     		dl = 3407.7204800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79932885-0.79879397) × R
    0.000534880000000015 × 6371000     		dr = 3407.7204800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95030110-0.95106809) × cos(0.79932885) × R
    0.000766990000000023 × 0.69718800593834 × 6371000     		do = 3406.80451288628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95030110-0.95106809) × cos(0.79879397) × R
    0.000766990000000023 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 3408.67774756072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79932885)-sin(0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69718800593834-0.697571355420939)×R²
    abs(0.95106809-0.95030110)×0.000383349482598994×R²
    0.000766990000000023×0.000383349482598994×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383349482598994×40589641000000     		ar = 11612629.5168637m²