Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53232 / 61553
↖ ↑ ↗
← S 82.754988°
E112.412110°		 ← 77.03 m → S 82.754988°
E112.417602°		 →
↑
77.09 m
↓
↑
77.09 m
↓
S 82.755682°
E112.412110°		 ← 77.02 m →
5 938 m²		 S 82.755682°
E112.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812263488769531 y=0.939231872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812263488769531 × 216)
    floor (0.812263488769531 × 65536)
    floor (53232.5)     		tx = 53232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939231872558594 × 216)
    floor (0.939231872558594 × 65536)
    floor (61553.5)     		ty = 61553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53232 / 61553 ti = "16/53232/61553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53232/61553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53232 ÷ 216
    53232 ÷ 65536     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61553 ÷ 216
    61553 ÷ 65536     		y = 0.939224243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.939224243164062 × 2 - 1) × π
    -0.878448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75972731112663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75972731112663))-π/2
    2×atan(0.0633090296740254)-π/2
    2×0.0632246509318775-π/2
    0.126449301863755-1.57079632675     		φ = -1.44434702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44434702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.754988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53232 KachelY 61553 1.96196143 -1.44434702 112.412110 -82.754988
    Oben rechts KachelX + 1 53233 KachelY 61553 1.96205730 -1.44434702 112.417602 -82.754988
    Unten links KachelX 53232 KachelY + 1 61554 1.96196143 -1.44435912 112.412110 -82.755682
    Unten rechts KachelX + 1 53233 KachelY + 1 61554 1.96205730 -1.44435912 112.417602 -82.755682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44434702--1.44435912) × R
    1.21000000001814e-05 × 6371000     		dl = 77.0891000011558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44434702--1.44435912) × R
    1.21000000001814e-05 × 6371000     		dr = 77.0891000011558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96205730) × cos(-1.44434702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126112600763803 × 6371000     		do = 77.0280341894217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96205730) × cos(-1.44435912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126100597361778 × 6371000     		du = 77.0207026582665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44434702)-sin(-1.44435912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126112600763803-0.126100597361778)×R²
    abs(1.96205730-1.96196143)×1.20034020249238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20034020249238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20034020249238e-05×40589641000000     		ar = 5937.73924000726m²