Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53215 / 61537
↖ ↑ ↗
← S 82.743896°
E112.318725°		 ← 77.15 m → S 82.743896°
E112.324219°		 →
↑
77.15 m
↓
↑
77.15 m
↓
S 82.744590°
E112.318725°		 ← 77.15 m →
5 952 m²		 S 82.744590°
E112.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812004089355469 y=0.938987731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812004089355469 × 216)
    floor (0.812004089355469 × 65536)
    floor (53215.5)     		tx = 53215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938987731933594 × 216)
    floor (0.938987731933594 × 65536)
    floor (61537.5)     		ty = 61537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53215 / 61537 ti = "16/53215/61537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53215/61537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53215 ÷ 216
    53215 ÷ 65536     		x = 0.811996459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61537 ÷ 216
    61537 ÷ 65536     		y = 0.938980102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811996459960938 × 2 - 1) × π
    0.623992919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96033157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.877960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75819333033879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96033157} λ = 1.96033157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75819333033879))-π/2
    2×atan(0.0634062190334893)-π/2
    2×0.0633214517146712-π/2
    0.126642903429342-1.57079632675     		φ = -1.44415342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96033157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.318725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44415342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.743896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53215 KachelY 61537 1.96033157 -1.44415342 112.318725 -82.743896
    Oben rechts KachelX + 1 53216 KachelY 61537 1.96042745 -1.44415342 112.324219 -82.743896
    Unten links KachelX 53215 KachelY + 1 61538 1.96033157 -1.44416553 112.318725 -82.744590
    Unten rechts KachelX + 1 53216 KachelY + 1 61538 1.96042745 -1.44416553 112.324219 -82.744590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44415342--1.44416553) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dl = 77.1528100007686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44415342--1.44416553) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dr = 77.1528100007686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96033157-1.96042745) × cos(-1.44415342) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.12630465268388 × 6371000     		do = 77.1533840229621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96033157-1.96042745) × cos(-1.44416553) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.126292639657562 × 6371000     		du = 77.1460458480566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44415342)-sin(-1.44416553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12630465268388-0.126292639657562)×R²
    abs(1.96042745-1.96033157)×1.20130263179252e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.20130263179252e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.20130263179252e-05×40589641000000     		ar = 5952.31729803937m²