Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53212 / 61548
↖ ↑ ↗
← S 82.751524°
E112.302246°		 ← 77.07 m → S 82.751524°
E112.307740°		 →
↑
77.03 m
↓
↑
77.03 m
↓
S 82.752217°
E112.302246°		 ← 77.07 m →
5 936 m²		 S 82.752217°
E112.307740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811958312988281 y=0.939155578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811958312988281 × 216)
    floor (0.811958312988281 × 65536)
    floor (53212.5)     		tx = 53212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.939155578613281 × 216)
    floor (0.939155578613281 × 65536)
    floor (61548.5)     		ty = 61548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53212 / 61548 ti = "16/53212/61548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53212/61548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53212 ÷ 216
    53212 ÷ 65536     		x = 0.81195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61548 ÷ 216
    61548 ÷ 65536     		y = 0.93914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81195068359375 × 2 - 1) × π
    0.6239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96004395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.8782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75924794213043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96004395} λ = 1.96004395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75924794213043))-π/2
    2×atan(0.0633393853352308)-π/2
    2×0.063254885354399-π/2
    0.126509770708798-1.57079632675     		φ = -1.44428656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96004395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44428656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.751524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53212 KachelY 61548 1.96004395 -1.44428656 112.302246 -82.751524
    Oben rechts KachelX + 1 53213 KachelY 61548 1.96013983 -1.44428656 112.307740 -82.751524
    Unten links KachelX 53212 KachelY + 1 61549 1.96004395 -1.44429865 112.302246 -82.752217
    Unten rechts KachelX + 1 53213 KachelY + 1 61549 1.96013983 -1.44429865 112.307740 -82.752217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44428656--1.44429865) × R
    1.20899999997981e-05 × 6371000     		dl = 77.0253899987137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44428656--1.44429865) × R
    1.20899999997981e-05 × 6371000     		dr = 77.0253899987137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96004395-1.96013983) × cos(-1.44428656) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126172577816597 × 6371000     		do = 77.0727058946328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96004395-1.96013983) × cos(-1.44429865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126160584426948 × 6371000     		du = 77.0653797148155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44428656)-sin(-1.44429865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126172577816597-0.126160584426948)×R²
    abs(1.96013983-1.96004395)×1.19933896489954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.19933896489954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.19933896489954e-05×40589641000000     		ar = 5936.27307868847m²