Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53209 / 61529
↖ ↑ ↗
← S 82.738343°
E112.285767°		 ← 77.20 m → S 82.738343°
E112.291260°		 →
↑
77.22 m
↓
↑
77.22 m
↓
S 82.739038°
E112.285767°		 ← 77.20 m →
5 961 m²		 S 82.739038°
E112.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811912536621094 y=0.938865661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811912536621094 × 216)
    floor (0.811912536621094 × 65536)
    floor (53209.5)     		tx = 53209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938865661621094 × 216)
    floor (0.938865661621094 × 65536)
    floor (61529.5)     		ty = 61529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53209 / 61529 ti = "16/53209/61529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53209/61529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53209 ÷ 216
    53209 ÷ 65536     		x = 0.811904907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61529 ÷ 216
    61529 ÷ 65536     		y = 0.938858032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811904907226562 × 2 - 1) × π
    0.623809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95975633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938858032226562 × 2 - 1) × π
    -0.877716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75742633994487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95975633} λ = 1.95975633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75742633994487))-π/2
    2×atan(0.0634548696492953)-π/2
    2×0.0633699073723294-π/2
    0.126739814744659-1.57079632675     		φ = -1.44405651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95975633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.285767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44405651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.738343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53209 KachelY 61529 1.95975633 -1.44405651 112.285767 -82.738343
    Oben rechts KachelX + 1 53210 KachelY 61529 1.95985220 -1.44405651 112.291260 -82.738343
    Unten links KachelX 53209 KachelY + 1 61530 1.95975633 -1.44406863 112.285767 -82.739038
    Unten rechts KachelX + 1 53210 KachelY + 1 61530 1.95985220 -1.44406863 112.291260 -82.739038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44405651--1.44406863) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dl = 77.2165200003814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44405651--1.44406863) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dr = 77.2165200003814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95975633-1.95985220) × cos(-1.44405651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12640078598683 × 6371000     		do = 77.2040541991413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95975633-1.95985220) × cos(-1.44406863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126388763188982 × 6371000     		du = 77.1967108212547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44405651)-sin(-1.44406863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12640078598683-0.126388763188982)×R²
    abs(1.95985220-1.95975633)×1.20227978477605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20227978477605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20227978477605e-05×40589641000000     		ar = 5961.14488010953m²