Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53204 / 61524
↖ ↑ ↗
← S 82.734871°
E112.258301°		 ← 77.25 m → S 82.734871°
E112.263794°		 →
↑
77.28 m
↓
↑
77.28 m
↓
S 82.735566°
E112.258301°		 ← 77.24 m →
5 970 m²		 S 82.735566°
E112.263794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811836242675781 y=0.938789367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811836242675781 × 216)
    floor (0.811836242675781 × 65536)
    floor (53204.5)     		tx = 53204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938789367675781 × 216)
    floor (0.938789367675781 × 65536)
    floor (61524.5)     		ty = 61524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53204 / 61524 ti = "16/53204/61524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53204/61524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53204 ÷ 216
    53204 ÷ 65536     		x = 0.81182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61524 ÷ 216
    61524 ÷ 65536     		y = 0.93878173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81182861328125 × 2 - 1) × π
    0.6236572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95927696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.8775634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75694697094867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95927696} λ = 1.95927696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75694697094867))-π/2
    2×atan(0.0634852952384226)-π/2
    2×0.0634002108852265-π/2
    0.126800421770453-1.57079632675     		φ = -1.44399590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95927696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44399590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.734871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53204 KachelY 61524 1.95927696 -1.44399590 112.258301 -82.734871
    Oben rechts KachelX + 1 53205 KachelY 61524 1.95937284 -1.44399590 112.263794 -82.734871
    Unten links KachelX 53204 KachelY + 1 61525 1.95927696 -1.44400803 112.258301 -82.735566
    Unten rechts KachelX + 1 53205 KachelY + 1 61525 1.95937284 -1.44400803 112.263794 -82.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44399590--1.44400803) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dl = 77.2802299999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44399590--1.44400803) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dr = 77.2802299999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95927696-1.95937284) × cos(-1.44399590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126460909617235 × 6371000     		do = 77.2488338017838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95927696-1.95937284) × cos(-1.44400803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126448876992527 × 6371000     		du = 77.2414836551725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44399590)-sin(-1.44400803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126460909617235-0.126448876992527)×R²
    abs(1.95937284-1.95927696)×1.20326247081137e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20326247081137e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20326247081137e-05×40589641000000     		ar = 5969.52363270538m²