Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53200 / 61648
↖ ↑ ↗
← S 82.820504°
E112.236328°		 ← 76.34 m → S 82.820504°
E112.241821°		 →
↑
76.32 m
↓
↑
76.32 m
↓
S 82.821191°
E112.236328°		 ← 76.33 m →
5 826 m²		 S 82.821191°
E112.241821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811775207519531 y=0.940681457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811775207519531 × 216)
    floor (0.811775207519531 × 65536)
    floor (53200.5)     		tx = 53200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940681457519531 × 216)
    floor (0.940681457519531 × 65536)
    floor (61648.5)     		ty = 61648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53200 / 61648 ti = "16/53200/61648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53200/61648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53200 ÷ 216
    53200 ÷ 65536     		x = 0.811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61648 ÷ 216
    61648 ÷ 65536     		y = 0.940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811767578125 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95889347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.88134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.76883532205444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95889347} λ = 1.95889347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76883532205444))-π/2
    2×atan(0.0627350283133176)-π/2
    2×0.0626529203724127-π/2
    0.125305840744825-1.57079632675     		φ = -1.44549049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95889347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44549049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.820504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53200 KachelY 61648 1.95889347 -1.44549049 112.236328 -82.820504
    Oben rechts KachelX + 1 53201 KachelY 61648 1.95898934 -1.44549049 112.241821 -82.820504
    Unten links KachelX 53200 KachelY + 1 61649 1.95889347 -1.44550247 112.236328 -82.821191
    Unten rechts KachelX + 1 53201 KachelY + 1 61649 1.95898934 -1.44550247 112.241821 -82.821191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44549049--1.44550247) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dl = 76.3245800001435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44549049--1.44550247) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dr = 76.3245800001435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95889347-1.95898934) × cos(-1.44549049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.124978178104149 × 6371000     		do = 76.3351427028946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95889347-1.95898934) × cos(-1.44550247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.124966292024483 × 6371000     		du = 76.3278828308008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44549049)-sin(-1.44550247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124978178104149-0.124966292024483)×R²
    abs(1.95898934-1.95889347)×1.18860796668591e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.18860796668591e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.18860796668591e-05×40589641000000     		ar = 5825.9706527095m²