Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53200 / 61520
↖ ↑ ↗
← S 82.732092°
E112.236328°		 ← 77.27 m → S 82.732092°
E112.241821°		 →
↑
77.28 m
↓
↑
77.28 m
↓
S 82.732787°
E112.236328°		 ← 77.26 m →
5 971 m²		 S 82.732787°
E112.241821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811775207519531 y=0.938728332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811775207519531 × 216)
    floor (0.811775207519531 × 65536)
    floor (53200.5)     		tx = 53200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938728332519531 × 216)
    floor (0.938728332519531 × 65536)
    floor (61520.5)     		ty = 61520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53200 / 61520 ti = "16/53200/61520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53200/61520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53200 ÷ 216
    53200 ÷ 65536     		x = 0.811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61520 ÷ 216
    61520 ÷ 65536     		y = 0.938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811767578125 × 2 - 1) × π
    0.62353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95889347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95889347} λ = 1.95889347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75656347575171))-π/2
    2×atan(0.0635096462131666)-π/2
    2×0.063424464072844-π/2
    0.126848928145688-1.57079632675     		φ = -1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95889347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53200 KachelY 61520 1.95889347 -1.44394740 112.236328 -82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 53201 KachelY 61520 1.95898934 -1.44394740 112.241821 -82.732092
    Unten links KachelX 53200 KachelY + 1 61521 1.95889347 -1.44395953 112.236328 -82.732787
    Unten rechts KachelX + 1 53201 KachelY + 1 61521 1.95898934 -1.44395953 112.241821 -82.732787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44394740--1.44395953) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dl = 77.2802299999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44394740--1.44395953) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dr = 77.2802299999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95889347-1.95898934) × cos(-1.44394740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 77.2701622660639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95889347-1.95898934) × cos(-1.44395953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12649698754037 × 6371000     		du = 77.2628129314988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44394740)-sin(-1.44395953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.12649698754037)×R²
    abs(1.95898934-1.95889347)×1.20325502999119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20325502999119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20325502999119e-05×40589641000000     		ar = 5971.17193323035m²