Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53199 / 61519
↖ ↑ ↗
← S 82.731397°
E112.230835°		 ← 77.29 m → S 82.731397°
E112.236328°		 →
↑
77.28 m
↓
↑
77.28 m
↓
S 82.732092°
E112.230835°		 ← 77.28 m →
5 972 m²		 S 82.732092°
E112.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811759948730469 y=0.938713073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811759948730469 × 216)
    floor (0.811759948730469 × 65536)
    floor (53199.5)     		tx = 53199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938713073730469 × 216)
    floor (0.938713073730469 × 65536)
    floor (61519.5)     		ty = 61519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53199 / 61519 ti = "16/53199/61519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53199/61519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53199 ÷ 216
    53199 ÷ 65536     		x = 0.811752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61519 ÷ 216
    61519 ÷ 65536     		y = 0.938705444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811752319335938 × 2 - 1) × π
    0.623504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95879759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.877410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75646760195247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95879759} λ = 1.95879759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75646760195247))-π/2
    2×atan(0.0635157354161303)-π/2
    2×0.0634305288114895-π/2
    0.126861057622979-1.57079632675     		φ = -1.44393527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95879759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.230835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44393527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.731397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53199 KachelY 61519 1.95879759 -1.44393527 112.230835 -82.731397
    Oben rechts KachelX + 1 53200 KachelY 61519 1.95889347 -1.44393527 112.236328 -82.731397
    Unten links KachelX 53199 KachelY + 1 61520 1.95879759 -1.44394740 112.230835 -82.732092
    Unten rechts KachelX + 1 53200 KachelY + 1 61520 1.95889347 -1.44394740 112.236328 -82.732092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44393527--1.44394740) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dl = 77.2802299999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44393527--1.44394740) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dr = 77.2802299999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95879759-1.95889347) × cos(-1.44393527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126521052622356 × 6371000     		do = 77.2855722454733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95879759-1.95889347) × cos(-1.44394740) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12650902009067 × 6371000     		du = 77.2782221556849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44393527)-sin(-1.44394740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126521052622356-0.12650902009067)×R²
    abs(1.95889347-1.95879759)×1.20325316857461e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20325316857461e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20325316857461e-05×40589641000000     		ar = 5972.36279025477m²