Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53197 / 61500
↖ ↑ ↗
← S 82.718180°
E112.219848°		 ← 77.43 m → S 82.718180°
E112.225342°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.718876°
E112.219848°		 ← 77.42 m →
5 993 m²		 S 82.718876°
E112.225342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811729431152344 y=0.938423156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811729431152344 × 216)
    floor (0.811729431152344 × 65536)
    floor (53197.5)     		tx = 53197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938423156738281 × 216)
    floor (0.938423156738281 × 65536)
    floor (61500.5)     		ty = 61500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53197 / 61500 ti = "16/53197/61500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53197/61500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53197 ÷ 216
    53197 ÷ 65536     		x = 0.811721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61500 ÷ 216
    61500 ÷ 65536     		y = 0.93841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811721801757812 × 2 - 1) × π
    0.623443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95860584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75464599976691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95860584} λ = 1.95860584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75464599976691))-π/2
    2×atan(0.0636315412626509)-π/2
    2×0.0635458685001336-π/2
    0.127091737000267-1.57079632675     		φ = -1.44370459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95860584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.219848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44370459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.718180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53197 KachelY 61500 1.95860584 -1.44370459 112.219848 -82.718180
    Oben rechts KachelX + 1 53198 KachelY 61500 1.95870172 -1.44370459 112.225342 -82.718180
    Unten links KachelX 53197 KachelY + 1 61501 1.95860584 -1.44371674 112.219848 -82.718876
    Unten rechts KachelX + 1 53198 KachelY + 1 61501 1.95870172 -1.44371674 112.225342 -82.718876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44370459--1.44371674) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44370459--1.44371674) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95860584-1.95870172) × cos(-1.44370459) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.126749875491635 × 6371000     		do = 77.4253490340096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95860584-1.95870172) × cos(-1.44371674) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.126737823475553 × 6371000     		du = 77.4179870421485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44370459)-sin(-1.44371674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126749875491635-0.126737823475553)×R²
    abs(1.95870172-1.95860584)×1.20520160826476e-05×R²
    9.58800000001592e-05×1.20520160826476e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×1.20520160826476e-05×40589641000000     		ar = 5993.02938176466m²