Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53195 / 61501
↖ ↑ ↗
← S 82.718876°
E112.208862°		 ← 77.41 m → S 82.718876°
E112.214355°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.719572°
E112.208862°		 ← 77.40 m →
5 992 m²		 S 82.719572°
E112.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811698913574219 y=0.938438415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811698913574219 × 216)
    floor (0.811698913574219 × 65536)
    floor (53195.5)     		tx = 53195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938438415527344 × 216)
    floor (0.938438415527344 × 65536)
    floor (61501.5)     		ty = 61501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53195 / 61501 ti = "16/53195/61501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53195/61501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53195 ÷ 216
    53195 ÷ 65536     		x = 0.811691284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61501 ÷ 216
    61501 ÷ 65536     		y = 0.938430786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811691284179688 × 2 - 1) × π
    0.623382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95841410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938430786132812 × 2 - 1) × π
    -0.876861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75474187356615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95841410} λ = 1.95841410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75474187356615))-π/2
    2×atan(0.063625440957473)-π/2
    2×0.0635397927929718-π/2
    0.127079585585944-1.57079632675     		φ = -1.44371674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95841410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.208862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44371674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.718876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53195 KachelY 61501 1.95841410 -1.44371674 112.208862 -82.718876
    Oben rechts KachelX + 1 53196 KachelY 61501 1.95850997 -1.44371674 112.214355 -82.718876
    Unten links KachelX 53195 KachelY + 1 61502 1.95841410 -1.44372889 112.208862 -82.719572
    Unten rechts KachelX + 1 53196 KachelY + 1 61502 1.95850997 -1.44372889 112.214355 -82.719572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44371674--1.44372889) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dl = 77.4076500006344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44371674--1.44372889) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dr = 77.4076500006344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95841410-1.95850997) × cos(-1.44371674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126737823475553 × 6371000     		do = 77.4099125752847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95841410-1.95850997) × cos(-1.44372889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12672577144076 × 6371000     		du = 77.40255133983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44371674)-sin(-1.44372889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126737823475553-0.12672577144076)×R²
    abs(1.95850997-1.95841410)×1.20520347921815e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20520347921815e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20520347921815e-05×40589641000000     		ar = 5991.83451112561m²