Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53192 / 61512
↖ ↑ ↗
← S 82.726530°
E112.192383°		 ← 77.33 m → S 82.726530°
E112.197876°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
S 82.727226°
E112.192383°		 ← 77.32 m →
5 981 m²		 S 82.727226°
E112.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811653137207031 y=0.938606262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811653137207031 × 216)
    floor (0.811653137207031 × 65536)
    floor (53192.5)     		tx = 53192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938606262207031 × 216)
    floor (0.938606262207031 × 65536)
    floor (61512.5)     		ty = 61512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53192 / 61512 ti = "16/53192/61512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53192/61512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53192 ÷ 216
    53192 ÷ 65536     		x = 0.8116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61512 ÷ 216
    61512 ÷ 65536     		y = 0.9385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8116455078125 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95812648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75579648535779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95812648} λ = 1.95812648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75579648535779))-π/2
    2×atan(0.0635583761870555)-π/2
    2×0.0634729981355538-π/2
    0.126945996271108-1.57079632675     		φ = -1.44385033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95812648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44385033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.726530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53192 KachelY 61512 1.95812648 -1.44385033 112.192383 -82.726530
    Oben rechts KachelX + 1 53193 KachelY 61512 1.95822235 -1.44385033 112.197876 -82.726530
    Unten links KachelX 53192 KachelY + 1 61513 1.95812648 -1.44386247 112.192383 -82.727226
    Unten rechts KachelX + 1 53193 KachelY + 1 61513 1.95822235 -1.44386247 112.197876 -82.727226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44385033--1.44386247) × R
    1.21399999999383e-05 × 6371000     		dl = 77.343939999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44385033--1.44386247) × R
    1.21399999999383e-05 × 6371000     		dr = 77.343939999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95812648-1.95822235) × cos(-1.44385033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126605309581407 × 6371000     		do = 77.3289747093854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95812648-1.95822235) × cos(-1.44386247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126593267260569 × 6371000     		du = 77.321619407095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44385033)-sin(-1.44386247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126605309581407-0.126593267260569)×R²
    abs(1.95822235-1.95812648)×1.20423208381515e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20423208381515e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20423208381515e-05×40589641000000     		ar = 5980.64313655243m²