Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53191 / 61511
↖ ↑ ↗
← S 82.725835°
E112.186890°		 ← 77.34 m → S 82.725835°
E112.192383°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
S 82.726530°
E112.186890°		 ← 77.34 m →
5 982 m²		 S 82.726530°
E112.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811637878417969 y=0.938591003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811637878417969 × 216)
    floor (0.811637878417969 × 65536)
    floor (53191.5)     		tx = 53191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938591003417969 × 216)
    floor (0.938591003417969 × 65536)
    floor (61511.5)     		ty = 61511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53191 / 61511 ti = "16/53191/61511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53191/61511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53191 ÷ 216
    53191 ÷ 65536     		x = 0.811630249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61511 ÷ 216
    61511 ÷ 65536     		y = 0.938583374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811630249023438 × 2 - 1) × π
    0.623260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95803060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938583374023438 × 2 - 1) × π
    -0.877166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75570061155855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95803060} λ = 1.95803060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75570061155855))-π/2
    2×atan(0.0635644700621709)-π/2
    2×0.0634790674901458-π/2
    0.126958134980292-1.57079632675     		φ = -1.44383819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95803060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.186890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44383819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.725835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53191 KachelY 61511 1.95803060 -1.44383819 112.186890 -82.725835
    Oben rechts KachelX + 1 53192 KachelY 61511 1.95812648 -1.44383819 112.192383 -82.725835
    Unten links KachelX 53191 KachelY + 1 61512 1.95803060 -1.44385033 112.186890 -82.726530
    Unten rechts KachelX + 1 53192 KachelY + 1 61512 1.95812648 -1.44385033 112.192383 -82.726530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44383819--1.44385033) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dl = 77.3439400010216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44383819--1.44385033) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dr = 77.3439400010216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95803060-1.95812648) × cos(-1.44383819) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126617351883586 × 6371000     		do = 77.3443967917186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95803060-1.95812648) × cos(-1.44385033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126605309581407 × 6371000     		du = 77.3370407336098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44383819)-sin(-1.44385033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126617351883586-0.126605309581407)×R²
    abs(1.95812648-1.95803060)×1.20423021792992e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20423021792992e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20423021792992e-05×40589641000000     		ar = 5981.83591174366m²