Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53188 / 61636
↖ ↑ ↗
← S 82.812261°
E112.170410°		 ← 76.42 m → S 82.812261°
E112.175903°		 →
↑
76.39 m
↓
↑
76.39 m
↓
S 82.812948°
E112.170410°		 ← 76.42 m →
5 837 m²		 S 82.812948°
E112.175903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811592102050781 y=0.940498352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811592102050781 × 216)
    floor (0.811592102050781 × 65536)
    floor (53188.5)     		tx = 53188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940498352050781 × 216)
    floor (0.940498352050781 × 65536)
    floor (61636.5)     		ty = 61636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53188 / 61636 ti = "16/53188/61636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53188/61636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53188 ÷ 216
    53188 ÷ 65536     		x = 0.81158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61636 ÷ 216
    61636 ÷ 65536     		y = 0.94049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81158447265625 × 2 - 1) × π
    0.6231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95774298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.8809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76768483646356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95774298} λ = 1.95774298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76768483646356))-π/2
    2×atan(0.0628072455939403)-π/2
    2×0.062724854218141-π/2
    0.125449708436282-1.57079632675     		φ = -1.44534662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95774298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44534662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.812261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53188 KachelY 61636 1.95774298 -1.44534662 112.170410 -82.812261
    Oben rechts KachelX + 1 53189 KachelY 61636 1.95783885 -1.44534662 112.175903 -82.812261
    Unten links KachelX 53188 KachelY + 1 61637 1.95774298 -1.44535861 112.170410 -82.812948
    Unten rechts KachelX + 1 53189 KachelY + 1 61637 1.95783885 -1.44535861 112.175903 -82.812948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44534662--1.44535861) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dl = 76.3882899997563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44534662--1.44535861) × R
    1.19899999999618e-05 × 6371000     		dr = 76.3882899997563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95774298-1.95783885) × cos(-1.44534662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12512091879615 × 6371000     		do = 76.4223269718497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95774298-1.95783885) × cos(-1.44535861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.125109023010573 × 6371000     		du = 76.4150611715051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44534662)-sin(-1.44535861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12512091879615-0.125109023010573)×R²
    abs(1.95783885-1.95774298)×1.18957855763102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.18957855763102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.18957855763102e-05×40589641000000     		ar = 5837.49336399334m²