Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53187 / 61635
↖ ↑ ↗
← S 82.811574°
E112.164917°		 ← 76.43 m → S 82.811574°
E112.170410°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
S 82.812261°
E112.164917°		 ← 76.42 m →
5 843 m²		 S 82.812261°
E112.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811576843261719 y=0.940483093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811576843261719 × 216)
    floor (0.811576843261719 × 65536)
    floor (53187.5)     		tx = 53187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940483093261719 × 216)
    floor (0.940483093261719 × 65536)
    floor (61635.5)     		ty = 61635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53187 / 61635 ti = "16/53187/61635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53187/61635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53187 ÷ 216
    53187 ÷ 65536     		x = 0.811569213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61635 ÷ 216
    61635 ÷ 65536     		y = 0.940475463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811569213867188 × 2 - 1) × π
    0.623138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95764711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.940475463867188 × 2 - 1) × π
    -0.880950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.76758896266432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95764711} λ = 1.95764711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76758896266432))-π/2
    2×atan(0.0628132674518598)-π/2
    2×0.0627308524124144-π/2
    0.125461704824829-1.57079632675     		φ = -1.44533462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95764711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.164917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44533462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.811574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53187 KachelY 61635 1.95764711 -1.44533462 112.164917 -82.811574
    Oben rechts KachelX + 1 53188 KachelY 61635 1.95774298 -1.44533462 112.170410 -82.811574
    Unten links KachelX 53187 KachelY + 1 61636 1.95764711 -1.44534662 112.164917 -82.812261
    Unten rechts KachelX + 1 53188 KachelY + 1 61636 1.95774298 -1.44534662 112.170410 -82.812261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44533462--1.44534662) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44533462--1.44534662) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95764711-1.95774298) × cos(-1.44533462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.125132824485139 × 6371000     		do = 76.4295988210776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95764711-1.95774298) × cos(-1.44534662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12512091879615 × 6371000     		du = 76.4223269718497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44533462)-sin(-1.44534662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125132824485139-0.12512091879615)×R²
    abs(1.95774298-1.95764711)×1.19056889890667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.19056889890667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.19056889890667e-05×40589641000000     		ar = 5842.91771541393m²