Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53186 / 61506
↖ ↑ ↗
← S 82.722356°
E112.159424°		 ← 77.38 m → S 82.722356°
E112.164917°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.723052°
E112.159424°		 ← 77.37 m →
5 990 m²		 S 82.723052°
E112.164917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811561584472656 y=0.938514709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811561584472656 × 216)
    floor (0.811561584472656 × 65536)
    floor (53186.5)     		tx = 53186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938514709472656 × 216)
    floor (0.938514709472656 × 65536)
    floor (61506.5)     		ty = 61506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53186 / 61506 ti = "16/53186/61506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53186/61506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53186 ÷ 216
    53186 ÷ 65536     		x = 0.811553955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61506 ÷ 216
    61506 ÷ 65536     		y = 0.938507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811553955078125 × 2 - 1) × π
    0.62310791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95755123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.87701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75522124256235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95755123} λ = 1.95755123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75522124256235))-π/2
    2×atan(0.0635949482029329)-π/2
    2×0.0635094229227297-π/2
    0.127018845845459-1.57079632675     		φ = -1.44377748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95755123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.159424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44377748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.722356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53186 KachelY 61506 1.95755123 -1.44377748 112.159424 -82.722356
    Oben rechts KachelX + 1 53187 KachelY 61506 1.95764711 -1.44377748 112.164917 -82.722356
    Unten links KachelX 53186 KachelY + 1 61507 1.95755123 -1.44378963 112.159424 -82.723052
    Unten rechts KachelX + 1 53187 KachelY + 1 61507 1.95764711 -1.44378963 112.164917 -82.723052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44377748--1.44378963) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44377748--1.44378963) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95755123-1.95764711) × cos(-1.44377748) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126677573033973 × 6371000     		do = 77.38118297056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95755123-1.95764711) × cos(-1.44378963) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126665520905677 × 6371000     		du = 77.3738209101528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44377748)-sin(-1.44378963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126677573033973-0.126665520905677)×R²
    abs(1.95764711-1.95755123)×1.20521282966912e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20521282966912e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20521282966912e-05×40589641000000     		ar = 5989.61058803822m²