Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53185 / 61505
↖ ↑ ↗
← S 82.721661°
E112.153931°		 ← 77.38 m → S 82.721661°
E112.159424°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
S 82.722356°
E112.153931°		 ← 77.37 m →
5 985 m²		 S 82.722356°
E112.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811546325683594 y=0.938499450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811546325683594 × 216)
    floor (0.811546325683594 × 65536)
    floor (53185.5)     		tx = 53185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938499450683594 × 216)
    floor (0.938499450683594 × 65536)
    floor (61505.5)     		ty = 61505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53185 / 61505 ti = "16/53185/61505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53185/61505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53185 ÷ 216
    53185 ÷ 65536     		x = 0.811538696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61505 ÷ 216
    61505 ÷ 65536     		y = 0.938491821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811538696289062 × 2 - 1) × π
    0.623077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95745536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938491821289062 × 2 - 1) × π
    -0.876983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75512536876311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95745536} λ = 1.95745536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75512536876311))-π/2
    2×atan(0.0636010455845144)-π/2
    2×0.0635154957415493-π/2
    0.127030991483099-1.57079632675     		φ = -1.44376534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95745536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.153931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44376534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.721661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53185 KachelY 61505 1.95745536 -1.44376534 112.153931 -82.721661
    Oben rechts KachelX + 1 53186 KachelY 61505 1.95755123 -1.44376534 112.159424 -82.721661
    Unten links KachelX 53185 KachelY + 1 61506 1.95745536 -1.44377748 112.153931 -82.722356
    Unten rechts KachelX + 1 53186 KachelY + 1 61506 1.95755123 -1.44377748 112.159424 -82.722356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44376534--1.44377748) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dl = 77.3439400010216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44376534--1.44377748) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dr = 77.3439400010216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95745536-1.95755123) × cos(-1.44376534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126689615224146 × 6371000     		do = 77.3804675649124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95745536-1.95755123) × cos(-1.44377748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126677573033973 × 6371000     		du = 77.3731123424311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44376534)-sin(-1.44377748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126689615224146-0.126677573033973)×R²
    abs(1.95755123-1.95745536)×1.20421901724233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20421901724233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20421901724233e-05×40589641000000     		ar = 5984.62579958066m²