Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53184 / 61503
↖ ↑ ↗
← S 82.720268°
E112.148438°		 ← 77.40 m → S 82.720268°
E112.153931°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.720964°
E112.148438°		 ← 77.39 m →
5 991 m²		 S 82.720964°
E112.153931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811531066894531 y=0.938468933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811531066894531 × 216)
    floor (0.811531066894531 × 65536)
    floor (53184.5)     		tx = 53184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938468933105469 × 216)
    floor (0.938468933105469 × 65536)
    floor (61503.5)     		ty = 61503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53184 / 61503 ti = "16/53184/61503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53184/61503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53184 ÷ 216
    53184 ÷ 65536     		x = 0.8115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61503 ÷ 216
    61503 ÷ 65536     		y = 0.938461303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8115234375 × 2 - 1) × π
    0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.876922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75493362116463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95735949} λ = 1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75493362116463))-π/2
    2×atan(0.0636132421015552)-π/2
    2×0.0635276431119237-π/2
    0.127055286223847-1.57079632675     		φ = -1.44374104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44374104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53184 KachelY 61503 1.95735949 -1.44374104 112.148438 -82.720268
    Oben rechts KachelX + 1 53185 KachelY 61503 1.95745536 -1.44374104 112.153931 -82.720268
    Unten links KachelX 53184 KachelY + 1 61504 1.95735949 -1.44375319 112.148438 -82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 53185 KachelY + 1 61504 1.95745536 -1.44375319 112.153931 -82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44374104--1.44375319) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dl = 77.4076500006344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44374104--1.44375319) × R
    1.21500000000996e-05 × 6371000     		dr = 77.4076500006344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95735949-1.95745536) × cos(-1.44374104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126713719387261 × 6371000     		do = 77.3951900929491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95735949-1.95745536) × cos(-1.44375319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 77.3878288346428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44374104)-sin(-1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126713719387261-0.126701667315055)×R²
    abs(1.95745536-1.95735949)×1.20520722055595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20520722055595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20520722055595e-05×40589641000000     		ar = 5990.69487770143m²