Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53182 / 61502
↖ ↑ ↗
← S 82.719572°
E112.137451°		 ← 77.40 m → S 82.719572°
E112.142944°		 →
↑
77.41 m
↓
↑
77.41 m
↓
S 82.720268°
E112.137451°		 ← 77.40 m →
5 991 m²		 S 82.720268°
E112.142944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811500549316406 y=0.938453674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811500549316406 × 216)
    floor (0.811500549316406 × 65536)
    floor (53182.5)     		tx = 53182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938453674316406 × 216)
    floor (0.938453674316406 × 65536)
    floor (61502.5)     		ty = 61502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53182 / 61502 ti = "16/53182/61502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53182/61502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53182 ÷ 216
    53182 ÷ 65536     		x = 0.811492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61502 ÷ 216
    61502 ÷ 65536     		y = 0.938446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811492919921875 × 2 - 1) × π
    0.62298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95716774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.87689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75483774736539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95716774} λ = 1.95716774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75483774736539))-π/2
    2×atan(0.0636193412371264)-π/2
    2×0.0635337176635865-π/2
    0.127067435327173-1.57079632675     		φ = -1.44372889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95716774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.137451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44372889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.719572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53182 KachelY 61502 1.95716774 -1.44372889 112.137451 -82.719572
    Oben rechts KachelX + 1 53183 KachelY 61502 1.95726361 -1.44372889 112.142944 -82.719572
    Unten links KachelX 53182 KachelY + 1 61503 1.95716774 -1.44374104 112.137451 -82.720268
    Unten rechts KachelX + 1 53183 KachelY + 1 61503 1.95726361 -1.44374104 112.142944 -82.720268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44372889--1.44374104) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dl = 77.4076499992198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44372889--1.44374104) × R
    1.21499999998775e-05 × 6371000     		dr = 77.4076499992198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95716774-1.95726361) × cos(-1.44372889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12672577144076 × 6371000     		do = 77.40255133983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95716774-1.95726361) × cos(-1.44374104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126713719387261 × 6371000     		du = 77.3951900929491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44372889)-sin(-1.44374104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12672577144076-0.126713719387261)×R²
    abs(1.95726361-1.95716774)×1.20520534995783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20520534995783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20520534995783e-05×40589641000000     		ar = 5991.26469484555m²