Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53176 / 61528
↖ ↑ ↗
← S 82.737649°
E112.104492°		 ← 77.22 m → S 82.737649°
E112.109985°		 →
↑
77.22 m
↓
↑
77.22 m
↓
S 82.738343°
E112.104492°		 ← 77.21 m →
5 962 m²		 S 82.738343°
E112.109985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811408996582031 y=0.938850402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811408996582031 × 216)
    floor (0.811408996582031 × 65536)
    floor (53176.5)     		tx = 53176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938850402832031 × 216)
    floor (0.938850402832031 × 65536)
    floor (61528.5)     		ty = 61528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53176 / 61528 ti = "16/53176/61528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53176/61528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53176 ÷ 216
    53176 ÷ 65536     		x = 0.8114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61528 ÷ 216
    61528 ÷ 65536     		y = 0.9388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8114013671875 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95659249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75733046614563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95659249} λ = 1.95659249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75733046614563))-π/2
    2×atan(0.06346095360037)-π/2
    2×0.0633759669221632-π/2
    0.126751933844326-1.57079632675     		φ = -1.44404439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95659249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44404439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.737649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53176 KachelY 61528 1.95659249 -1.44404439 112.104492 -82.737649
    Oben rechts KachelX + 1 53177 KachelY 61528 1.95668837 -1.44404439 112.109985 -82.737649
    Unten links KachelX 53176 KachelY + 1 61529 1.95659249 -1.44405651 112.104492 -82.738343
    Unten rechts KachelX + 1 53177 KachelY + 1 61529 1.95668837 -1.44405651 112.109985 -82.738343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44404439--1.44405651) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dl = 77.2165200003814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44404439--1.44405651) × R
    1.21200000000599e-05 × 6371000     		dr = 77.2165200003814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95659249-1.95668837) × cos(-1.44404439) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12641280876611 × 6371000     		do = 77.2194513256846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95659249-1.95668837) × cos(-1.44405651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12640078598683 × 6371000     		du = 77.2121071931676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44404439)-sin(-1.44405651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12641280876611-0.12640078598683)×R²
    abs(1.95668837-1.95659249)×1.20227792801686e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20227792801686e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20227792801686e-05×40589641000000     		ar = 5962.33376358002m²