Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53172 / 61516
↖ ↑ ↗
← S 82.729311°
E112.082520°		 ← 77.30 m → S 82.729311°
E112.088012°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
S 82.730007°
E112.082520°		 ← 77.29 m →
5 978 m²		 S 82.730007°
E112.088012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811347961425781 y=0.938667297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811347961425781 × 216)
    floor (0.811347961425781 × 65536)
    floor (53172.5)     		tx = 53172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938667297363281 × 216)
    floor (0.938667297363281 × 65536)
    floor (61516.5)     		ty = 61516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53172 / 61516 ti = "16/53172/61516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53172/61516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53172 ÷ 216
    53172 ÷ 65536     		x = 0.81134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61516 ÷ 216
    61516 ÷ 65536     		y = 0.93865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81134033203125 × 2 - 1) × π
    0.6226806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95620900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.8773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75617998055475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95620900} λ = 1.95620900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75617998055475))-π/2
    2×atan(0.0635340065281834)-π/2
    2×0.0634487264884684-π/2
    0.126897452976937-1.57079632675     		φ = -1.44389887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95620900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.082520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44389887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.729311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53172 KachelY 61516 1.95620900 -1.44389887 112.082520 -82.729311
    Oben rechts KachelX + 1 53173 KachelY 61516 1.95630487 -1.44389887 112.088012 -82.729311
    Unten links KachelX 53172 KachelY + 1 61517 1.95620900 -1.44391101 112.082520 -82.730007
    Unten rechts KachelX + 1 53173 KachelY + 1 61517 1.95630487 -1.44391101 112.088012 -82.730007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44389887--1.44391101) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dl = 77.3439400010216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44389887--1.44391101) × R
    1.21400000001604e-05 × 6371000     		dr = 77.3439400010216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95620900-1.95630487) × cos(-1.44389887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126557160025304 × 6371000     		do = 77.2995655493869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95620900-1.95630487) × cos(-1.44391101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126545117629878 × 6371000     		du = 77.2922102015391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44389887)-sin(-1.44391101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126557160025304-0.126545117629878)×R²
    abs(1.95630487-1.95620900)×1.20423954260152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20423954260152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20423954260152e-05×40589641000000     		ar = 5978.36851396521m²