Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53160 / 61496
↖ ↑ ↗
← S 82.715394°
E112.016601°		 ← 77.45 m → S 82.715394°
E112.022095°		 →
↑
77.47 m
↓
↑
77.47 m
↓
S 82.716091°
E112.016601°		 ← 77.45 m →
6 000 m²		 S 82.716091°
E112.022095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811164855957031 y=0.938362121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811164855957031 × 216)
    floor (0.811164855957031 × 65536)
    floor (53160.5)     		tx = 53160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938362121582031 × 216)
    floor (0.938362121582031 × 65536)
    floor (61496.5)     		ty = 61496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53160 / 61496 ti = "16/53160/61496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53160/61496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53160 ÷ 216
    53160 ÷ 65536     		x = 0.8111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61496 ÷ 216
    61496 ÷ 65536     		y = 0.9383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8111572265625 × 2 - 1) × π
    0.622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95505851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75426250456995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95505851} λ = 1.95505851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75426250456995))-π/2
    2×atan(0.0636559483327983)-π/2
    2×0.063570177107627-π/2
    0.127140354215254-1.57079632675     		φ = -1.44365597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95505851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.016601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44365597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.715394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53160 KachelY 61496 1.95505851 -1.44365597 112.016601 -82.715394
    Oben rechts KachelX + 1 53161 KachelY 61496 1.95515439 -1.44365597 112.022095 -82.715394
    Unten links KachelX 53160 KachelY + 1 61497 1.95505851 -1.44366813 112.016601 -82.716091
    Unten rechts KachelX + 1 53161 KachelY + 1 61497 1.95515439 -1.44366813 112.022095 -82.716091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44365597--1.44366813) × R
    1.21600000000388e-05 × 6371000     		dl = 77.4713600002472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44365597--1.44366813) × R
    1.21600000000388e-05 × 6371000     		dr = 77.4713600002472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95505851-1.95515439) × cos(-1.44365597) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126798103207408 × 6371000     		do = 77.4548090053872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95505851-1.95515439) × cos(-1.44366813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12678604134691 × 6371000     		du = 77.4474410000506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44365597)-sin(-1.44366813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126798103207408-0.12678604134691)×R²
    abs(1.95515439-1.95505851)×1.2061860497653e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2061860497653e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2061860497653e-05×40589641000000     		ar = 6000.24398771089m²