Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53120 / 61312
↖ ↑ ↗
← S 82.586106°
E111.796875°		 ← 78.82 m → S 82.586106°
E111.802368°		 →
↑
78.81 m
↓
↑
78.81 m
↓
S 82.586815°
E111.796875°		 ← 78.81 m →
6 212 m²		 S 82.586815°
E111.802368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810554504394531 y=0.935554504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810554504394531 × 216)
    floor (0.810554504394531 × 65536)
    floor (53120.5)     		tx = 53120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.935554504394531 × 216)
    floor (0.935554504394531 × 65536)
    floor (61312.5)     		ty = 61312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53120 / 61312 ti = "16/53120/61312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53120/61312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53120 ÷ 216
    53120 ÷ 65536     		x = 0.810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61312 ÷ 216
    61312 ÷ 65536     		y = 0.935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810546875 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95122356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.935546875 × 2 - 1) × π
    -0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95122356} λ = 1.95122356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.73662172550977))-π/2
    2×atan(0.0647888521264191)-π/2
    2×0.0646984272958243-π/2
    0.129396854591649-1.57079632675     		φ = -1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95122356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53120 KachelY 61312 1.95122356 -1.44139947 111.796875 -82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 53121 KachelY 61312 1.95131944 -1.44139947 111.802368 -82.586106
    Unten links KachelX 53120 KachelY + 1 61313 1.95122356 -1.44141184 111.796875 -82.586815
    Unten rechts KachelX + 1 53121 KachelY + 1 61313 1.95131944 -1.44141184 111.802368 -82.586815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44139947--1.44141184) × R
    1.23700000000948e-05 × 6371000     		dl = 78.809270000604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44139947--1.44141184) × R
    1.23700000000948e-05 × 6371000     		dr = 78.809270000604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95122356-1.95131944) × cos(-1.44139947) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 78.8218714362086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95122356-1.95131944) × cos(-1.44141184) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.129023798662605 × 6371000     		du = 78.8143783682226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44139947)-sin(-1.44141184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.129023798662605)×R²
    abs(1.95131944-1.95122356)×1.22665954512824e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.22665954512824e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.22665954512824e-05×40589641000000     		ar = 6211.59888653035m²