Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53068 / 61644
↖ ↑ ↗
← S 82.817758°
E111.511230°		 ← 76.37 m → S 82.817758°
E111.516724°		 →
↑
76.32 m
↓
↑
76.32 m
↓
S 82.818444°
E111.511230°		 ← 76.36 m →
5 829 m²		 S 82.818444°
E111.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809761047363281 y=0.940620422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809761047363281 × 216)
    floor (0.809761047363281 × 65536)
    floor (53068.5)     		tx = 53068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940620422363281 × 216)
    floor (0.940620422363281 × 65536)
    floor (61644.5)     		ty = 61644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53068 / 61644 ti = "16/53068/61644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53068/61644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53068 ÷ 216
    53068 ÷ 65536     		x = 0.80975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61644 ÷ 216
    61644 ÷ 65536     		y = 0.94061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80975341796875 × 2 - 1) × π
    0.6195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94623812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.8812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.76845182685748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94623812} λ = 1.94623812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76845182685748))-π/2
    2×atan(0.062759091509122)-π/2
    2×0.0626768891983098-π/2
    0.12535377839662-1.57079632675     		φ = -1.44544255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94623812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.511230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44544255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.817758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53068 KachelY 61644 1.94623812 -1.44544255 111.511230 -82.817758
    Oben rechts KachelX + 1 53069 KachelY 61644 1.94633400 -1.44544255 111.516724 -82.817758
    Unten links KachelX 53068 KachelY + 1 61645 1.94623812 -1.44545453 111.511230 -82.818444
    Unten rechts KachelX + 1 53069 KachelY + 1 61645 1.94633400 -1.44545453 111.516724 -82.818444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44544255--1.44545453) × R
    1.19799999998005e-05 × 6371000     		dl = 76.3245799987289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44544255--1.44545453) × R
    1.19799999998005e-05 × 6371000     		dr = 76.3245799987289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94623812-1.94633400) × cos(-1.44544255) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1250257420865 × 6371000     		do = 76.372159591587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94623812-1.94633400) × cos(-1.44545453) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.125013856078622 × 6371000     		du = 76.364899006083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44544255)-sin(-1.44545453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1250257420865-0.125013856078622)×R²
    abs(1.94633400-1.94623812)×1.18860078787697e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.18860078787697e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.18860078787697e-05×40589641000000     		ar = 5828.79592409418m²