Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53056 / 61248
↖ ↑ ↗
← S 82.540604°
E111.445313°		 ← 79.29 m → S 82.540604°
E111.450806°		 →
↑
79.32 m
↓
↑
79.32 m
↓
S 82.541317°
E111.445313°		 ← 79.29 m →
6 289 m²		 S 82.541317°
E111.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809577941894531 y=0.934577941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809577941894531 × 216)
    floor (0.809577941894531 × 65536)
    floor (53056.5)     		tx = 53056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.934577941894531 × 216)
    floor (0.934577941894531 × 65536)
    floor (61248.5)     		ty = 61248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53056 / 61248 ti = "16/53056/61248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53056/61248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53056 ÷ 216
    53056 ÷ 65536     		x = 0.8095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61248 ÷ 216
    61248 ÷ 65536     		y = 0.9345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8095703125 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94508764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9345703125 × 2 - 1) × π
    -0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94508764} λ = 1.94508764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7304858023584))-π/2
    2×atan(0.065187613678152)-π/2
    2×0.0650955117678637-π/2
    0.130191023535727-1.57079632675     		φ = -1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94508764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.445313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53056 KachelY 61248 1.94508764 -1.44060530 111.445313 -82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 53057 KachelY 61248 1.94518351 -1.44060530 111.450806 -82.540604
    Unten links KachelX 53056 KachelY + 1 61249 1.94508764 -1.44061775 111.445313 -82.541317
    Unten rechts KachelX + 1 53057 KachelY + 1 61249 1.94518351 -1.44061775 111.450806 -82.541317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44060530--1.44061775) × R
    1.24499999998307e-05 × 6371000     		dl = 79.3189499989211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44060530--1.44061775) × R
    1.24499999998307e-05 × 6371000     		dr = 79.3189499989211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94508764-1.94518351) × cos(-1.44060530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 79.2946397397431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94508764-1.94518351) × cos(-1.44061775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12981121049668 × 6371000     		du = 79.287099780266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44060530)-sin(-1.44061775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.12981121049668)×R²
    abs(1.94518351-1.94508764)×1.23446471057553e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.23446471057553e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.23446471057553e-05×40589641000000     		ar = 6289.26853408174m²