Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52864 / 61056
↖ ↑ ↗
← S 82.402423°
E110.390625°		 ← 80.75 m → S 82.402423°
E110.396118°		 →
↑
80.78 m
↓
↑
80.78 m
↓
S 82.403150°
E110.390625°		 ← 80.75 m →
6 523 m²		 S 82.403150°
E110.396118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806648254394531 y=0.931648254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806648254394531 × 216)
    floor (0.806648254394531 × 65536)
    floor (52864.5)     		tx = 52864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931648254394531 × 216)
    floor (0.931648254394531 × 65536)
    floor (61056.5)     		ty = 61056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52864 / 61056 ti = "16/52864/61056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52864/61056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52864 ÷ 216
    52864 ÷ 65536     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61056 ÷ 216
    61056 ÷ 65536     		y = 0.931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.931640625 × 2 - 1) × π
    -0.86328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.7120780329043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7120780329043))-π/2
    2×atan(0.0663986846021673)-π/2
    2×0.0663013627335668-π/2
    0.132602725467134-1.57079632675     		φ = -1.43819360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43819360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.402423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52864 KachelY 61056 1.92667987 -1.43819360 110.390625 -82.402423
    Oben rechts KachelX + 1 52865 KachelY 61056 1.92677574 -1.43819360 110.396118 -82.402423
    Unten links KachelX 52864 KachelY + 1 61057 1.92667987 -1.43820628 110.390625 -82.403150
    Unten rechts KachelX + 1 52865 KachelY + 1 61057 1.92677574 -1.43820628 110.396118 -82.403150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43819360--1.43820628) × R
    1.26799999999871e-05 × 6371000     		dl = 80.7842799999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43819360--1.43820628) × R
    1.26799999999871e-05 × 6371000     		dr = 80.7842799999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.92677574) × cos(-1.43819360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132214465332803 × 6371000     		do = 80.7549784423634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.92677574) × cos(-1.43820628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.132201896638204 × 6371000     		du = 80.7473016374173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43819360)-sin(-1.43820628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132214465332803-0.132201896638204)×R²
    abs(1.92677574-1.92667987)×1.25686945991466e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.25686945991466e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.25686945991466e-05×40589641000000     		ar = 6523.42270738599m²