Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52784 / 59888
↖ ↑ ↗
← S 81.505299°
E109.951172°		 ← 90.22 m → S 81.505299°
E109.956665°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
S 81.506110°
E109.951172°		 ← 90.22 m →
8 139 m²		 S 81.506110°
E109.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805427551269531 y=0.913825988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805427551269531 × 216)
    floor (0.805427551269531 × 65536)
    floor (52784.5)     		tx = 52784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913825988769531 × 216)
    floor (0.913825988769531 × 65536)
    floor (59888.5)     		ty = 59888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52784 / 59888 ti = "16/52784/59888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52784/59888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52784 ÷ 216
    52784 ÷ 65536     		x = 0.805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59888 ÷ 216
    59888 ÷ 65536     		y = 0.913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805419921875 × 2 - 1) × π
    0.61083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91900997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.82763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91900997} λ = 1.91900997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60009743539185))-π/2
    2×atan(0.0742663416916892)-π/2
    2×0.0741302533554103-π/2
    0.148260506710821-1.57079632675     		φ = -1.42253582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91900997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42253582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.505299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52784 KachelY 59888 1.91900997 -1.42253582 109.951172 -81.505299
    Oben rechts KachelX + 1 52785 KachelY 59888 1.91910584 -1.42253582 109.956665 -81.505299
    Unten links KachelX 52784 KachelY + 1 59889 1.91900997 -1.42254998 109.951172 -81.506110
    Unten rechts KachelX + 1 52785 KachelY + 1 59889 1.91910584 -1.42254998 109.956665 -81.506110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42253582--1.42254998) × R
    1.41600000000963e-05 × 6371000     		dl = 90.2133600006136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42253582--1.42254998) × R
    1.41600000000963e-05 × 6371000     		dr = 90.2133600006136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91900997-1.91910584) × cos(-1.42253582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147717946681884 × 6371000     		do = 90.2243152428049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91900997-1.91910584) × cos(-1.42254998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147703942008952 × 6371000     		du = 90.2157613598551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42253582)-sin(-1.42254998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147717946681884-0.147703942008952)×R²
    abs(1.91910584-1.91900997)×1.40046729322219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40046729322219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40046729322219e-05×40589641000000     		ar = 8139.0527950084m²