Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52737 / 60929
↖ ↑ ↗
← S 82.309628°
E109.692993°		 ← 81.74 m → S 82.309628°
E109.698486°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
S 82.310363°
E109.692993°		 ← 81.73 m →
6 681 m²		 S 82.310363°
E109.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804710388183594 y=0.929710388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804710388183594 × 216)
    floor (0.804710388183594 × 65536)
    floor (52737.5)     		tx = 52737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929710388183594 × 216)
    floor (0.929710388183594 × 65536)
    floor (60929.5)     		ty = 60929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52737 / 60929 ti = "16/52737/60929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52737/60929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52737 ÷ 216
    52737 ÷ 65536     		x = 0.804702758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60929 ÷ 216
    60929 ÷ 65536     		y = 0.929702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804702758789062 × 2 - 1) × π
    0.609405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91450390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.929702758789062 × 2 - 1) × π
    -0.859405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6999020604008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91450390} λ = 1.91450390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6999020604008))-π/2
    2×atan(0.067212095143065)-π/2
    2×0.0671111591415379-π/2
    0.134222318283076-1.57079632675     		φ = -1.43657401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91450390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.692993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43657401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.309628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52737 KachelY 60929 1.91450390 -1.43657401 109.692993 -82.309628
    Oben rechts KachelX + 1 52738 KachelY 60929 1.91459977 -1.43657401 109.698486 -82.309628
    Unten links KachelX 52737 KachelY + 1 60930 1.91450390 -1.43658684 109.692993 -82.310363
    Unten rechts KachelX + 1 52738 KachelY + 1 60930 1.91459977 -1.43658684 109.698486 -82.310363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43657401--1.43658684) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dl = 81.7399299997688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43657401--1.43658684) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dr = 81.7399299997688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91450390-1.91459977) × cos(-1.43657401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133819663062318 × 6371000     		do = 81.7354135839831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91450390-1.91459977) × cos(-1.43658684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133806948448172 × 6371000     		du = 81.7276476531619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43657401)-sin(-1.43658684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133819663062318-0.133806948448172)×R²
    abs(1.91459977-1.91450390)×1.27146141468137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27146141468137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27146141468137e-05×40589641000000     		ar = 6680.72959198202m²