Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52735 / 60928
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E109.682007°		 ← 81.74 m → S 82.308893°
E109.687500°		 →
↑
81.74 m
↓
↑
81.74 m
↓
S 82.309628°
E109.682007°		 ← 81.74 m →
6 681 m²		 S 82.309628°
E109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804679870605469 y=0.929695129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804679870605469 × 216)
    floor (0.804679870605469 × 65536)
    floor (52735.5)     		tx = 52735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929695129394531 × 216)
    floor (0.929695129394531 × 65536)
    floor (60928.5)     		ty = 60928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52735 / 60928 ti = "16/52735/60928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52735/60928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52735 ÷ 216
    52735 ÷ 65536     		x = 0.804672241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60928 ÷ 216
    60928 ÷ 65536     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804672241210938 × 2 - 1) × π
    0.609344482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91431215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91431215} λ = 1.91431215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91431215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.682007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52735 KachelY 60928 1.91431215 -1.43656118 109.682007 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 52736 KachelY 60928 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Unten links KachelX 52735 KachelY + 1 60929 1.91431215 -1.43657401 109.682007 -82.309628
    Unten rechts KachelX + 1 52736 KachelY + 1 60929 1.91440802 -1.43657401 109.687500 -82.309628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43657401) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dl = 81.7399299997688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43657401) × R
    1.28299999999637e-05 × 6371000     		dr = 81.7399299997688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91431215-1.91440802) × cos(-1.43656118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 81.7431795013498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91431215-1.91440802) × cos(-1.43657401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133819663062318 × 6371000     		du = 81.7354135839831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43657401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133819663062318)×R²
    abs(1.91440802-1.91431215)×1.27145921189065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27145921189065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27145921189065e-05×40589641000000     		ar = 6681.36437737122m²