Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5198 / 5334
↖ ↑ ↗
← S 47.694974°
E 48.427734°		 ← 3 288.99 m → S 47.694974°
E 48.471679°		 →
↑
3 288.07 m
↓
↑
3 288.07 m
↓
S 47.724545°
E 48.427734°		 ← 3 287.12 m →
10 811 367 m²		 S 47.724545°
E 48.471679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63458251953125 y=0.65118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63458251953125 × 213)
    floor (0.63458251953125 × 8192)
    floor (5198.5)     		tx = 5198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65118408203125 × 213)
    floor (0.65118408203125 × 8192)
    floor (5334.5)     		ty = 5334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5198 / 5334 ti = "13/5198/5334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5198/5334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5198 ÷ 213
    5198 ÷ 8192     		x = 0.634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5334 ÷ 213
    5334 ÷ 8192     		y = 0.651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    0.26904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84522341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84522341} λ = 0.84522341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949534107674072))-π/2
    2×atan(0.386921245108133)-π/2
    2×0.369180993946721-π/2
    0.738361987893442-1.57079632675     		φ = -0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84522341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.427734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5198 KachelY 5334 0.84522341 -0.83243434 48.427734 -47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 5199 KachelY 5334 0.84599040 -0.83243434 48.471679 -47.694974
    Unten links KachelX 5198 KachelY + 1 5335 0.84522341 -0.83295044 48.427734 -47.724545
    Unten rechts KachelX + 1 5199 KachelY + 1 5335 0.84599040 -0.83295044 48.471679 -47.724545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83243434--0.83295044) × R
    0.000516099999999908 × 6371000     		dl = 3288.07309999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83243434--0.83295044) × R
    0.000516099999999908 × 6371000     		dr = 3288.07309999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84522341-0.84599040) × cos(-0.83243434) × R
    0.000766990000000023 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 3288.98813196148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84522341-0.84599040) × cos(-0.83295044) × R
    0.000766990000000023 × 0.672695603568435 × 6371000     		du = 3287.12255304976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83243434)-sin(-0.83295044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.672695603568435)×R²
    abs(0.84599040-0.84522341)×0.000381782763426375×R²
    0.000766990000000023×0.000381782763426375×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381782763426375×40589641000000     		ar = 10811366.5629764m²